北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案).docx

顺义一中2023-2024学年度第二学期高一年级期中考试

数学试卷

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，，，则向量（）

A． B． C． D．

3．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）

A． B． C． D．

4．在中，，，，那么等于（）

A． B． C． D．

5．在，“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（）

A． B． C． D．

8．已知函数，则（）

A．的最小值为0

B．的最小正周期为

C．将向右平移个单位所得图象关于原点中心对称

D．函数在区间上单调递增

9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，的形状是（）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形

10．已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（）

A． B．3 C．1 D．2

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知向量，．若，则______；若，则______．

12．复数的模等于______；虚部等于______．

13．已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示．则______．

14．已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______；圆柱的体积为______．

15．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②棱始终与水面EFGH平行；

③水面四边形EFGH的面积不改变；

④当，且时，是定值．

其中所有正确的命题的序号是______．

（请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分）

三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16．（本小题满分14分）

已知向量，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求与夹角的大小；

（Ⅲ）求．

17．（本小题满分14分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，PA与平面ABCD垂直，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：平面AEC；

（Ⅱ）若，，，求四棱锥的体积．

18．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间；

（Ⅲ）若函数在区间上的最大值为1，求m的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为m，M、N分别为PC、AB的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAD；

（Ⅱ）求证：．

20．（本小题满分14分）

①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题．

已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若，求面积的最大值．

21．（本小题满分15分）

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

（Ⅰ）若，

①求A；

②若，设点P为的费马点，求；

（Ⅱ）若，设点P为的费马点，，求实数t的最小值．