(小升初备考讲义)专题一 容斥原理(计算技巧篇)（讲义）-2023-2024学年六年级数学下册全国通用.docxVIP

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专题一容斥原理

(知识精讲+典题分析+巩固提升)

【考点概况】

在\t/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使\t/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目\t/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

【方法总结】

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．

容斥原理1：三量重叠问题

1、A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．

2、用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C

容斥原理2：两量重叠问题

1、A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数

2、用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．

【典例分析】

【典例1】某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

【分析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。

【答案】25+22+24-12-9-8+X=45，解得X=3

【典例2】某个班的全体学生在进行了\t/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：

短跑

游泳

投掷

短跑

游泳

短跑

投掷

游泳

投掷

短跑

游泳

投掷

17

18

15

6

6

5

2

求这个班的学生共有多少人？

【分析】这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。

4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）

【典例3】在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【分析】很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

【解答】总长看成单位1分别分成10、12、15段。1/10与1/12的\t/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank最小公倍数1/2，1/10与1/15的最小公倍数1/5，1/12与1/15的最小公倍数1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍数为1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28

一．选择题（共10小题）

1．在使用计算器时，可以用（）键开机。

A．ON/C B．CE C．OFF D．M+

2．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有（）人参加跳绳比赛．

A．21 B．27 C．29 D．37

3．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有（）人．

A．15