第二章 行列式.docxVIP

行列式

§1引言、§2排列

教学目标:掌握排列的概念、性质及逆序数的计算方法.

教学重点:排列的概念、性质.

教学方法:讲授法.

教学过程:

解方程是代数中一个基本的问题.这一章和下一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组.这一章是引进行列式来解线性方程组,而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题.

在中学代数课中学过,对于二元线性方程组

当二级行列式时,该方程组有唯一解,即

对于三元线性方程组有相仿的结论.在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组

的情形.为此,我们首先要给出级行列式的定义并讨论它的性质,这就是本章的主要内容.

作为定义级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质

定义1由组成的一个有序数组称为一个级排列.

例如,2431是一个四能排列,45321是一个5级排列,我们知道级排列的总数是我们记

读为“阶乘”.例如:随着的增大迅速增大.例如,10!=362880.

显然也是一个级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列都或少地破坏自然顺序.

定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那末它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.

例如2431中,21,43,41,31是逆序,2431的逆序数就是4.而45321的逆序数是9.

排列的逆序数记为.

定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.

例如,2431是偶排列;45321是奇排列;的逆序数是零,因之是偶排列.

应该指出,我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列,一般地也称为级排列.对这样一般的级排列,同样可以定义上面这些概念.

把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.例如,经过1,2对换,排列2431就变成了1432就变成了1234,显然,如果连续施行两次相同的对换,那么排列就还原了.由此得知,一个对换把全部级排列两两配对,使每两个配成对的级排列在这个对换下互变.

关于排列的奇偶性,我们有下面的基本事实.

定理1对换改变排列的奇偶性.

这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列.

证明先看一个特殊的情形,即对换的两个数在排列中是相邻的情形.排列

(1)

经过对换变成

,(2)

这里表示那些不动的数.显然,在排列(1)中如与其它的数构成逆序,则在排列(2)中仍然构成逆序;如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序;不同的只是的次序.如果原来组成逆序,那么经过对换,逆序数就减少一个.如果原来不组成逆序,那么经过对,逆序数就增加一个.不论增加1还是减少1,排列的逆序数的奇偶性总是变了.因之,在这个特殊的情形,定理是对的.

再看一般的情形.设排列为

，（3）

经过对换,排列(3)变成.

不难看出,这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现.从(3)出发,把与对换,再与对换,也就是说,把一位一位地向左移动.经过次相邻位置的对换,排列(3)就变成.(5)

从(5)出发,再把一位一位地向右移动,经过次相邻位置的对换,排列(5)就变成了排列(4).因之,对换可以通过次相邻位置的对换来实现.是奇数.相邻位置的对换改变排列的奇偶性.显然,奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性.

定理2任意一个级排列与排列都可以经过一毓对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.

证明我们对排列的级数作数学归纳法,来证任意一个级排列都可以经过一系列对换变成

1级排列只有一个,结论显然成立.

假设结论对级排列已经成立,现在来证对级排列的情形结论也成立.

设是一个级排列,如果,那么根据归纳法假设,级排列可以经过一系列对换变成,于是这一系列对换也就把变成.如果,那么对作对换,它就变成,这就归结成上面的情形.因此结论普遍成立.

相仿地,也可用一系列对换变成,因为是偶排列,所以根据定理1,所作对换的个数与排列有相同的奇偶性.

作业:P97，习题4.

预习:下一节基本概念.

§3n级行列式

教学目标:掌握的n级行列式的概念、特殊行列式的计算方法.

教学重点:n级行列式的概念.

教学方法:讲授法.

教学过程:

从这一节开始,我们总是取一固定的数域作为基础,所谈到的数都是指这个数域中的数,所考虑的行列式也都是数域上的行列式.

在给出级