数学本质概念——角.docx

数学本质概念

－角[ －

纯数四

陈映妤

一、分年细目中的「角」

3-s-04

3-s-04【

能认识角，并比较角的大小。（同3-n-17）

4-s-01能运用「角」与「边」等构成要素，辨认简单平面图形。

4-s-04能认识「度」的角度单位，使用量角器实测角度或画出指定的角。

（同4-n-14）

4-s-05能理解旋转角的意义。

4-s-06]

能理解平面上直角、垂直与平行的意义。

4-s-07能由直角、垂直与平行的概念，认识简单平面图形。

二、「角」的概念

三、 数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是

不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原则。

四、

五、1、一般生活中所说的角概念

六、 一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶

点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角， ，

等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。

七、

八、2、理想的角概念

九、 从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明

(Michael：

十、(1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。

十一、十二、十三、

十四、

角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。(3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。

因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方

向延伸出两条射线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。

十五、 事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，

而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。

十六、

十七、 专家学者怎么看待「角度」单元内容

十八、十九、

二十、

（一）心理学家谈儿童「角」的认知概念

1、Piaget的角概念发展阶段论

Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿

童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I

（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA

（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。

二十一、

二十二、

二十三、

2、Vygotsky社会文化互动论

Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出

二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneousconcepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像「桌角尖尖的，要小心」，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientificconcepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。

二十四、

二十五、二十六、

（二）数学家谈「角」的数学内涵

1、VanHiele的几何思考阶段论

二十七、 VanHiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的

思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下

（朱建正，2002a；ClementsBattista,1992）：

二十八、 （1）阶段零:视觉期（visualization）

即依图形的外在特征来判别，其所关注的要素是外形轮廓。

（2）阶段一：分析期（analysis）

能从图形