光的电磁理论基础.ppt

取常数：则波动方程式(1．2．3a)和(1．1．3b)可化简为：显然，这对方程给出了一组在真空中随时间和空间作周期性变化的电磁波动。式中的常数c正是该波动在真空中的传播速度，它等于真空介电常数与真空磁导率两者乘积开方的倒数。第21页,共42页，2024年2月25日，星期天表示电磁场在介质中的传播速度，其中最后一个等号成立于非磁性物质中。1.2.2空间为无色散的均匀各向同性介质对于均匀各向同性的无色散介质，其介电常数和磁导率与电磁场的频率无关，于是有：(1.2.6)其中：(1.2.7)第22页,共42页，2024年2月25日，星期天1.2.3空间为有色散的均匀各向同性介质对于色散介质，其介电常数和磁导率都是电磁场频率的函数。这样，一个具有各种频率成分的非正弦变化的电磁场(非定态场)，其场量E(t)和D(t)、B(t)和H(t)之间不再具有物质方程所确定的简单线性关系，因而在此类介质中电场强度矢量E(t)和磁感应强度矢量B(t)不再满足由(1.2.6)式所确定的波动方程。然而，按照线性叠加原理，一个随时间任意变化的非定态波场可以看成是由各种具有恒定频率成分的简谐波场(定态波场或单色波场)的线性叠加。假设某一定态电磁波场的圆频率为，其电场强度矢量和磁感应强度矢量分别表示为：(1.2.8)第23页,共42页，2024年2月25日，星期天则一个非定态场的电场强度矢量和磁感应强度矢量可分别表示为：(1.2.9)单色波的波动方程应具有与(1.2.6)式相同的形式，即：(1.2.10)第24页,共42页，2024年2月25日，星期天所不同的是(1.2.10)式中的速度只对应于圆频率为的单色波场。将(1.2.8)式代入(1.2.10)式并消去时间因子，可得：此即一定频率的电磁波所满足的基本方程——定态波动方程，通常称之为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。亥姆霍兹方程的解E(r)、B(r)表征了给定频率的电磁波场在空间的分布情况，每一种可能的形式称为电磁波的一种模式或波型。式中k表示圆频率为的单色波的(角)波数。其值为：(1.2.10)(1.2.11)第25页,共42页，2024年2月25日，星期天注意:由于在导出方程式(1．2．11)的过程中曾利用了条件和，而亥姆霍兹方程本身的解并不能保证和成立，故亥姆霍兹方程的解必须再加上条件和，才代表电磁波场的解。其次，求解定态波动方程时，实际上只需要求解其中的一个场量(E或B)方程，而另一个场量则可以直接根据麦克斯韦方程组导出。如若已知E(或B)矢量的解，则将其代入麦克斯韦方程组，便可得B(或E)矢量的解为：第26页,共42页，2024年2月25日，星期天1.2.4空间为无色散的非均匀各向同性介质对于无色散的非均匀各向同性介质，代入麦克斯韦方程组第3式得：再取麦克斯韦方程组第1式的旋度并将上式代入，得：第27页,共42页，2024年2月25日，星期天同样，由麦克斯韦方程组第4式得：对麦克斯韦方程组第2式取旋度并将上式代入，得：第28页,共42页，2024年2月25日，星期天即：因此，对于无色散的非均匀各向同性介质，波动方程为：第29页,共42页，2024年2月25日，星期天1.3有源空间中的电磁波动方程第30页,共42页，2024年2月25日，星期天1.3.1电磁场的矢势与标势麦克斯韦方程组第4式表明，无论对稳恒场还是迅变场，磁感应强度矢量B的散度始终等于0，因此，磁场是一个有旋无源场。由矢量分析理论可知，散度等于0的矢量可以看作是某个矢量A的旋度，故可将磁感应强度矢量B表示为：(1.3.1)这里定义矢量A为电磁场的矢势。在静电场中，电场是一保守场，故电场强度可用一个标量函数即电势来描述。在迅变场中，电场不仅由电荷激发，而且也可能由变化的磁场激发，因而不再是一个保守场，但也不是一个有旋无源场。这样，电场就不能用一个单一的标量或矢量来描述。将上式代入麦克斯韦方程组第1式得：第31页,共42页，2024年2月25日，星期天显然，为一无旋场，故可表示为某一标量场的梯度，即：与矢势A对应，这里定义函数为电磁场的标势。1.3.2洛伦兹规范与库仑规范标势的引入仅仅是为了简化电磁场问题的求解，并不具有电势能的意义，因为这里的电场E并非