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基本不等式及其应用【九大题型】
【新高考专用】
【题型1基本不等式及其应用】
【题型2直接法求最值】
【题型3配凑法求最值】
【题型4常数代换法求最值】
【题型5消元法求最值】
【题型6齐次化求最值】
【题型7多次使用基本不等式求最值】
【题型8利用基本不等式解决实际问题】
【题型9与其他知识交汇的最值问题】
1.基本不等式及其应用
考点要求真题统计考情分析
(1)了解基本不等式的推基本不等式及其应用是每年高考的必考内容,从
2020年天津卷:第14题,5分
导过程近几年的高考情况来看,对基本不等式的考查比
2021年乙卷:第8题,5分
(2)会用基本不等式解决较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,
2022年I卷:第12题,5分
最值问题应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和
2023年新高考I卷:第22题,
(3)理解基本不等式在实求取值范围的问题;同时要注意基本不等式在立
12分
际问题中的应用体几何、平面解析几何等内容中的运用.
【知识点1基本不等式】
1.两个不等式
不等式内容等号成立条件
22
重要不等式a+b≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式ab≤a+b(a0,b0)当且仅当“a=b”时取“=”
2
a+b
叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.
2
1
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.基本不等式与最值
已知x,y都是正数,
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;
12
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S.
4
温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有:(1)x、y0,(2)和(积)为定值,(3)存在取
等号的条件.
3.常见的求最值模型nn
(1)模型一:mx+≥2mn(m0,n0),当且仅当x=时等号成立;
xm
(2)模型二:mx+n=m(x−a)+n+ma≥2mn+ma(m0,n0),当且仅当x−a=n时
x−ax−am
等号成
立;
x11
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