2024年同步备课高中数学2.5.2圆与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

2.5.2圆与圆的位置关系

学习目标

1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养；

2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养；

3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养。

01情景导入

情景导入

日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。

我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?

前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。

02圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

思考：类比直线与圆的位置关系，请同学们思考：圆与圆有哪几种位置关系？

提示：三种关系：（1）两圆相交，有两个公共点

（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点

（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点

圆与圆的位置关系

探究1：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？（几何法）

dr1＋r2

外离

d|r1－r2|

内含

相交

外切

内切

d=r1＋r2

|r1－r2|dr1＋r2

d=|r1－r2|

圆与圆的位置关系

探究2：如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？

提示：代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

一元二次方程

圆C1方程

圆C2方程

消元

Δ0⇒.

Δ0⇒,

Δ＝0⇒,

相交

内切或外切

外离或内含

圆与圆的位置关系

(1)-(2)，得

圆与圆的位置关系

解法二：

把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：

圆与圆的位置关系

练习.判断下列两圆的位置关系:

①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.

②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.

解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距

因为d=r1+r2,所以两圆外切.

②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,

故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.

两圆的圆心距

圆与圆的位置关系

例2已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:

(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?

解:圆C1,C2的方程,经配方后可得

C1:(x-a)2+(y-1)2=16,

C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,

∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.

(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;

当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.

(2)当3|C1C2|5,即3a5时,两圆相交.

(3)当|C1C2|5,即a5时,两圆外离.

(4)当|C1C2|3,即0a3时,两圆内含.

圆与圆的位置关系

判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;

(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.

方法总结

03相交弦与公切线

相交弦

思考：如何求直线与圆、圆与圆的交点和弦长？

相交弦

相交弦

相交弦

4x＋3y－2＝0

10

相交弦

例求圆心在直线x－y－4＝0上且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

思路分析可联立两圆方程求交点坐标，进而求出圆的圆心和半径；也可利用过两圆交点的圆系方程，根据已知条件求出待定系数．

相交弦

相交弦

相交弦

公切线

例(1)两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()

A．1条B．2条C．3条 D．4条

B

两个圆为外切位置关系，所以公切线有两条

公切线

公切线

公切线

两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

(3)两圆相交时，只有2条外公切线；

(4)两圆内切时，只有1条外公切线；