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物体辐射能和温度之间关系
一般物体只要绝对温度不是零度都会发出辐射
能辐射能(即辐射强度)为
e,这个值随波长的不同而变化,现在来求黑体的辐
射能与绝对温度T之间的关系。
解:设黑体在波长上的辐射强度为,辐
射能为,由普朗克(PLank)定律知
⑴
其中⑵
2024/1/22
根据普朗克定律,用对波长作图,从⑵容
易看到时,当值增大,则也增
大,在某一固有波长时达到它的最大值,然后又
随的增加而减小,当时。由⑴式
看出,曲线⑵与轴所围成的面积,表示该温度T下
的总辐射强度,即
由于
2024/1/23
所以
设,则。又时,,
时,。
所以得
⑶
但上式右端的被积函数的原函数不能用初等函
数表示,现用幂级数展开求其积分。
2024/1/24
由于
现设,所以有
⑷
由于对所有,均有,所以级数⑷对
于均收敛。将⑷式代入⑶式,得
2024/1/25
⑸
设⑸式右端括弧内的积分为,则
2024/1/26
由于
所以⑹
2024/1/17
将⑹式代入⑸式,得
⑺
⑺式右端中的值,可由数学手册查得。也
可推导如下:由于在中的傅里
叶级数展开式为
当x=0时,y=0代入上式,得
2024/1/18
所以。
将这个值代入⑺式,得
⑻
其中
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