抛物线上有关角度问题的探究（原卷版）.docxVIP

专题五：抛物线上与角度有关问题的探究

方法点睛

解决角度有关问题的一般步骤：

读题，画图，理解题意.

分析动点、定点，找不变特征，如角有两边，其中一边是确定的.

确定分类特征，进行分类讨论.

把角放在直角三角形中，构造相似三角形或全等三角形，根据三角函数、相似或全等的知识解决.

典例分析

例：（2021随州中考改编）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

专题过关

1、（2021岳阳中考）（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（2021盘锦中考改编）（本题14分）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，直线与轴交于点D，与轴交于点E，与直线BC交于点F。

（1）点F的坐标是________；

（2）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒个单位长度的速度运动，当SE=SG，且时，求点G的运动时间。

3、（2021连云港中考改编）（12分）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（3，0）．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

4、（2021枣庄中考改编）（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．

（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；

（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

5、（2021眉山中考改编）（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

6、（2021衡阳中考）（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

7、（2021绥化中考）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限）．当且时，求出点的坐标．

8、（2021宿迁中考改编）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；

9、（2021济南中考）抛物线过点，点，顶点为．

（1）求抛物线的表达式及点的坐标；

（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；

（3）如图2，在（2）条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．

10、（2021德阳中考改编）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11、（2021成都中考改编）（12分）如图，在平面直角