湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题【含答案】.docx

常德市一中2023年下学期高二年级入学考试试卷

数学

时量：120分钟满分：150分

命题人：高二数学备课组

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，将集合化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.

【详解】因为或，即或，

所以，

由，可得，即，

所以，则.

故选：C

2.如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（）

A. B. C.或 D.或

【答案】B

【解析】

【分析】转化为表示的集合是表示集合的真子集，列出不等式组可得答案.

【详解】根据题意，不等式的解集是，设为条件，

设为条件，

则的充分不必要条件是，即表示的集合是表示集合的真子集，

则有（等号不同时成立），

解得.

故选：B.

3.已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以，

则扇形的周长为.

故选：C

4.设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为在方向上的投影向量为，

所以，

所以有，

故选：D

5.已知，，且，则的最小值是（）

A.18 B.16 C.10 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先利用对数运算得，然后利用“1”的代换求解最小值.

【详解】因为，，且，所以，

所以，所以，

当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.

故选：B

6.下列三个数：，，，大小顺序正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数、对数的知识确定正确答案.

【详解】，

，，所以，

所以，

，

所以.

故选：C

7.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）

A. B. C.4 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由二面角的平面角的定义知，

∴，

由，得，又，

∴

，

所以，即.

故选：C.

8.已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用整体换元法，结合余弦函数性质即可求解.

【详解】函数．

当时，令，则，

若在有且仅有3个零点和3条对称轴，

则在有且仅有3个零点和3条对称轴，

则，解得.

故选：A．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各式中值为1的是（）

A. B.

C. D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用三角函数恒等变换公式逐个计算判断即可.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：CD

10.若，，，则事件与的关系错误是（）

A.事件与互斥 B.事件与对立

C.事件与相互独立 D.事件与既互斥又独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据积事件概率不为零可确定与不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.

【详解】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误；

对于C，，，事件与相互独立，C正确.

故选：ABD.

11.已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.的图象关于直线对称

B.的图象关于点中心对称

C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，结合图象及三角函数的性质可得结论．

【详解】由函数的图象可得，由，求得.

再根据五点法作图可得，即，

又，求得，∴函数，

，是最值，故A成立；

，不等于零，故B不成立；

将函数的图象向左平移个单位得到函数

的图象，故C不成立；

当时，，

，，

函数在上的图象如下，

由图可知，时，函数与直线有两个交点，

故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.

故选：AD.

12.如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E