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沈阳二中24届高三上暑假阶段验收测试数学
一、单选题
1.已知集合,那么集合的子集个数为()
A个 B.个 C.个 D.个
【答案】B
【解析】
【分析】根据为象限角分四种情况讨论可得集合,进而可求子集个数.
【详解】因为,
所以,
所以为象限角,
若为第一象限角,则,
所以;
若为第二象限角,则,
所以;
若为第三象限角,则,
所以;
若为第四象限角,则,
所以;
所以,所以集合的子集个数为个,
故选:B.
2.直线过函数图象的对称中心,则的最小值为()
A.9 B.4 C.8 D.10
【答案】A
【解析】
【分析】求得的对称中心,据此求得,再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】函数的图象可由向右平移1个单位,再向上2个单位得到,
又是奇函数,故其对称中心为,
故的对称中心为(1,2),
所以.
,
当且仅当时等号成立.
故选:A.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,涉及函数对称中心的求解,属综合基础题.
3.将函数的图象向左平移个单位得到函数,则函数的图象大致为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件可知原函数的图像向左平移个单位得到函数,再化简,根据函数的奇偶性可排除B,C,再对比图像取特殊值的范围则可得到选项.
【详解】解:依题意得,
则,,,显然该函数为奇函数,且当时,,所以D正确.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数的图像,考查三角函数的平移变换,涉及利用函数的性质和特殊值的范围判断图像,属于中档题.
4.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:由题意得,,故是必要不充分条件,故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法:
①定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p?q”为真,则p是q的充分条件.
②等价法:利用p?q与非q?非p,q?p与非p?非q,p?q与非q?非p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
③集合法:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
5.已知数列中,,,.若对于任意的,不等式恒成立,则实数a可能为()
A.-4 B.-1 C.0 D.2
【答案】A
【解析】
【分析】对易知数列递推式变形为,然后利用累加法求出,从而原恒成立问题转化为在恒成立,构造函数,利用二次函数及一元二次不等式的解法即可求出a的范围,结合选项判断即可.
【详解】因为,所以,
即,
所以当时,
,而,
因为不等式在恒成立,
所以在恒成立,
即在恒成立,
设,,
则,即,解得或,
结合选项,.
故选:A
6.已知函数,且满足对任意的,总有,的图象上关于轴对称的点恰好有3对,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出与函数在上关于轴对称的,设,转化为函数与的图象恰有3个交点,数形结合即可求解.
【详解】因为当时,,故在上的图象具有局部周期性,
则在上的图象如图所示:
设,
若要使函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对,
则函数与的图象恰有3个交点,
在同一直角坐标系中画出与的图象,如图,
由图象可得,若使两函数的图象恰有3个交点,
则且满足,,
即,,
所以,解得,
故选:C
【点睛】本题考查了函数图象的变换及对数函数、三角函数图象的应用,考查了转化化归思想与数形结合思想,属于中档题.
7.已知函数,若方程有8个相异实根,则实数取值范围
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】画出函数的图象如下图所示.由题意知,当时,;当时,.
设,则原方程化为,
∵方程有8个相异实根,
∴关于的方程在上有两个不等实根.
令,.
则,解得.
∴实数的取值范围为.选D.
点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识.
8.已知,,,则,,的大小关系是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察a,b,c的结构,进而变形为,,,然后通过构造函数,利用导数得出函数的单调性,最后比较出大小.
【详解】由题意,,
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