几何综合题2021年一模（解析版）.docxVIP

几何综合题2021年一模

1．如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，点P在AD边上，连接BP，过点D作BP的垂线交BP的延长线于点E，连接BD．

（1）连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F．

①若，求sin∠DBE的值；②求证：DE=2BF．

（2）如图2，在BE的延长线上取一点G，连接DG，若∠GDE=∠ADB，取BG的中点M，连接AM，求证：AM=（BE-GE）．

【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）①设AB=a，则AD=2a，PD=a，PA=a，先由勾股定理得PB=a，BD=a，再证△PDE∽△PBA，得DE：AB=PD：PB，则DE=a，即可求解；

②先由相似三角形的性质得∠PDE=∠ABF，再证△ABF∽△ADE，得DE：BF=AD：AB=2，即可得出结论；

（2）连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F，先证△DEG∽△DAB，得DE：GE=AD：AB=2，则DE=2GE，得BF=GE，再证点M是EF的中点，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

【详解】

解：（1）①设AB=a，则AD=2a，

∵

∴PD=a，PA=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠PAB=90°，

由勾股定理得：，，

∵DE⊥BP，

∴∠PED=∠PAB=90°，

又∵∠DPE=∠APB，

∴△PDE∽△PBA，

∴DE：AB=PD：PB，

即，

解得：，

∴；

②证明：∵△PDE∽△PAB，

∴∠PDE=∠ABF，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠DAE+∠PAF=∠BAF+∠PAF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ABF∽△ADE，

∴DE：BF=AD：AB=2，

∴DE=2BF；

（2）证明：连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F，如图所示：

∵∠GDE=∠ADB，∠DEG=∠DAB=90°，

∴△DEG∽△DAB，

∴DE：GE=AD：AB=2，

∴DE=2GE，

由（1）②得：DE=2BF，

∴BF=GE，

∵点M是BG的中点，

∴MG=MB，

∴ME=MF，

∴点M是EF的中点，

∴AM=EF=（BE-GE）．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理以及证明三角形相似是解题的关键．

2．如图，与均为等边三角形，点E，F分别在边上，且，连接相交于点G，连接并延长交于点H．

（1）求的度数；

（2）求证：；

（3）若H为的中点，求的值．

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）根据SAS证明得，再由三角形的外角性质可得结论；

（2）延长至点M，使，得为等边三角形，，，进一步得出，根据SAS可证明，得到，从而进一步得到结论；

（3）证明得，证明得，故可得，由H为的中点可得结论．

【详解】

（1）证明：∵是等边三角形，

∴，

∴．

在和中

∵，

∴；????????

∴，????????????

∴

（2）证明：延长至点M，使

由（1）知，，

∴为等边三角形，?????????

∴，

∵

∴，

∵为等边三角形，

∴，，

∴

即???????????

在和中

∵

∴；?????????????

∴，???????????

又∵，

∴．????????

（3）解：由（2）得，，

∴

∵

∴，

∴，即，??????????

∵，，

∴，

∴，即，????????

∴

又∵H为的中点，

∴，，

∴

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．

3．如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，延长BE交CD的延长线于点F，点P是线段EF上的一点，延长PD交BC的延长线于点Q．

（1）①如图1，若P是线段EF的中点，求证：DE＝CQ；

②如图2，若AB＝4，BC＝8，PF＝CQ，求CQ的长；

（2）如图3，连接AP、AQ，求证：AD平分∠PAQ．

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）证明见解析．

【分析】

（1）①先证△ABE≌△DFE，由全等三角形的性质得BE＝EF，根据P是线段EF的中点可得出BP＝3PE，由矩形的性质得AD＝BC＝2DE，AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得，即BQ＝3DE，即可求证；

②设PF＝CQ＝x，则BQ＝8+x，由题意得AE＝DE＝4，根据勾股定理得出，由①△ABE≌△DFE可得，则，，根据平行线分线段成比例定理可得，得出关于x的方程，解方程即可；

（2）过点P作PH⊥AD于H，设AB＝m，BC＝n，PE＝x，表示出AB，BQ，PH，AH，根据tan∠