湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题.docx

湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月月考

数学试题

本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．

考试时间：2024年3月27日下午15：00—17：00

注意事项：

1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数，则（）

A．0 B．2 C． D．

2．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（）

A．6 B．3 C．2 D．0

3．画条直线，将圆的内部区域最多分割成（）

A．部分 B．部分

C．部分 D．部分

4．某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：

星期

一

二

三

四

五

六

日

时长（分钟）

60

150

30

60

10

90

120

则（）

A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60

C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60

5．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（）

A． B．

C．是等比数列 D．

6．若，则（）

A．88 B．87 C．86 D．85

7．已知函数，，若有两个零点，则（）

A． B． C． D．

8．以表示数集中的报小值，已知不全为0的实数x，y，二元函数，则的最大值为（）

A．0 B． C．1 D．2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知函数为函数的一个极值点，则（）

A． B．

C． D．

10．已知抛物线，过的焦点的直线与交于A，B两点，设的中点为，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点，则（）

A．点必在抛物线的准线上

B．

C．面积的最小值为

D．过作直线的平行线交轴于点，则

11．已知函数，则（）

A．当时，方程无解

B．当时，存在实数使得函数有两个零点

C．若恒成立，则

D．若方程有3个不等的实数解，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知数列中，，，，则的前项和__________．

13．已知直线与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，若，则实数__________．

14．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

（1）判断的形状；

（2）若在边上，且，，以和为边，，向外作两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值．

16．（15分）

如图，已知三棱锥中，平面底面，平面，且，．

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．

17．（15分）

已知函数．

（1）证明：函数有三个不同零点的必要条件是；

（2）由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）．

若，证明：方程至多有3个实数根．

18．（17分）

在平面直角坐标系内，以原点为圆心，a，b（，，a，b为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点，分别作轴，轴的垂线交于点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设，点，，过点的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．

（i）若，的内切圆的圆心的纵坐标为，求的值；

（ii）若点是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交于点，证明：的长为定值．

19．（17分）

设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：

Y

X

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件