正弦定理和余弦定理应用举例学案1.docxVIP

§应用举例(二)

对点讲练

一、证明平面几何有关定理

(例1)一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：eq\f(sin(α＋β),PC)＝eq\f(sinα,PB)＋eq\f(sinβ,PA).

证明

∵S△ABP=S△APC+S△BPC

∴PA·PBsin(α+β)

=PA·PCsinα+PB·PCsinβ

两边同除以PA·PB·PC，得eq\f(sin(α＋β),PC)＝eq\f(sinα,PB)＋eq\f(sinβ,PA).

总结面积法是证明平面几何问题的常用方法之一．面积等式S△ABP=S△APC+S△BPC是证明本题的关键．

?变式训练1在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,DC).

证明

如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，

=.①

在△CBD中，利用正弦定理，eq\f(BC,CD)＝eq\f(sin∠BDC,sin∠DBC)②

∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，

又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，

所以①＝②，得eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,CD).即eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,DC)成立.

二、计算平面图形中线段的长度

(例2)如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD中，已知两边和其中一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到与△BCD的联系，可再考虑用余弦定理求出BD，又BD是两个三角形的公共边，这样可在△BCD中应用正弦定理求BC.

解设BD=x，在△ABD中，由余弦定理有

AB2=BD2+AD22AD·BD·cos∠ADB，

即142=x2+10220xcos60°，

∴x210x96=0，∴x=16(x=6舍去)，即BD=16.

在△BCD中，由正弦定理

∵BD是角B的平分线，∴∠ABD=∠CBD，

又∵∠ADB+∠CDB=180°，∴sin∠ADB=sin∠CDB，

所以①=②，得.

即成立，

总结在解三角形时，有些复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的，本例先求BD就起到了这样的作用．

?变式训练2已知△ABC，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，求证：△ABC中，a边上的中线MA=

证明如图所示：

BM=MC=.

在△ABM中，由余弦定理得：

c2=MA2+（）22MA（）·cos∠AMB.

在△ACM中，由余弦定理得：b2=MA2+（）22MA（）cos∠AMC

以上两式相加，又cos∠AMB+cos∠AMC=0，

得：b2+c2=2MA2+.即MA2=b2+c2a2，∴MA=.

三、计算平面图形的面积

(例3)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．

(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；

(2)求S的最大值及此时θ角的值．

解(1)△ABD的面积S1=×1×1×sinθ=sinθ，

由于△BDC是正三角形，则△BDC的面积S2=BD2.

而在△ABD中，由余弦定理可知：

BD2=12+122×1×1×cosθ=22cosθ.

于是四边形ABCD的面积S=sinθ+(22cosθ)，

∴S=eq\f(\r(3),2)+sin,0θπ.

由S=eq\f(\r(3),2)+sin，及0θπ，则θ，

当θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)时，即θ＝eq\f(5π,6)时，S取得最大值1＋eq\f(\r(3),2).

总结本题将四边形面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题，是转化与化归思想的应用．

?变式训练3已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．

解

连接BD，则四边形面积

S=S△ABD+S△CBD＝eq\f(1,2)AB·ADsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC.

∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.

∴S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.

由余弦定理：在ABD中，BD2＝22＋42－2·2·4cosA＝20－16cosA，

在△CDB中，BD2＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.

又cosC＝－cosA，∴cosA