(2.1)--9.1 拉普拉斯变换信号与系统.pdfVIP

信号与系统

第9章

拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换

傅里叶分析的局限性:

(1)受限于稳定系统.

(2)一些重要信号不存在FT.

如:eatu(t),a0

eatu(-t),a0

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拉普拉斯变换(LT)

1.定义

在第3章,我们知道，一个单位冲激响应为h(t)

st

的LTI系统，对e复指数输入信号的响应为

y(t)H(s)est



WhereH(s)h(t)estdt(9.2)

对一般的复指数s来说,H(s)就称为单位冲激响应

h(t)的拉普拉斯变换.

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拉普拉斯变换(LT)

如果sj(i.e.0ofs+j),那么Eq.(9.2)

为FTofh(t),或者为LTI系统的频率响应

H(j).

一个信号x(t)的拉普拉斯变换定义为



st

X(s)x(t)edt9.3

L

记LT为L[x(t)]或者x(t)X(s)

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拉普拉斯变换(LT)

2.LT与FT的关系

∵s+j当sj,Eq.9.3变为



X(j)x(t)ejtdt

∴X(s)|sjF[x(t)],Eq.(9.3)可重写为



X(j)x(t)e(j)tdt



[x(t)et]ejtdt

所以X(s)为x(t)·e-t的FT,即

L[x(t)]F[x(t)e-t]

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拉普拉斯变换(LT)

3.LT的存在条件—收敛域(ROC)

Example9.1x(t)e-atu(t),当a0,FT存在:

at