3 微专题：空间向量基本定理及其初步应用(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义.docxVIP

【学生版】

微专题：空间向量基本定理及其初步应用

1、空间向量基本定理

（1）定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；

特别地，当，，不共面时，可知x＋y＋z＝，时，x＝y＝z＝0；；

（2）相关概念

①线性组合：表达式x＋y＋z一般称为向量，，的线性组合或线性表达式；

②基底：空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；

③基向量：基底中，，都称为基向量；

④分解式：如果p＝，则称为在基底下的分解式；

【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？

【提示】

【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基向量？

【提示】

2、空间向量的正交分解

（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．

（2）向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；

【典例】

题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解

例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；

【提示】

【答案】

【解析】

【说明】

题型2、用空间的基底表示空间向量

例2、如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝，eq\o(AB,\s\up7(→))＝，eq\o(AC,\s\up7(→))＝，

点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))；

【变式1】(变条件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up7(→))＝改为eq\o(AC′,\s\up7(→))＝，其他条件不变，则结果又是什么？

【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底表示向量eq\o(MP,\s\up7(→))。

题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题

例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，

且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，

（1）用表示；

（2）求对角线的长；

（3）求：向量所成角的大小；

【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：

1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

3、通过运算下结论：利用空间向量的一个基底表示出空间所有向量；然后，利用空间向量的运算解答立体几何问题；

例4、已知两两垂直，，为的中点，

点在上，；

（1）求：的长；

（2）若点在线段上，

设，当时，求：实数的值．

【归纳】

1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；

2、在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；

3、基向量的选择和使用方法：用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意：（1）所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；

（）所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量；（3）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底；

4、用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果；

（3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，即结果中只能含有不能含有其他形式的向量；

5、涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题,可以利用基向量，通过数量积的运算来解决：

（1）线线垂直可用证明，其中用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题；

（2）异面直线所成角可用公式求解，其中用基向量表示；

（3）线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式计算，其中用基向量表示；

【即时练习】

1、在下列两个命题中，真命题是（）

①若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；

②若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底；

A．