广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷.docx

南头中学2023～2024学年度第二学期期中考试

高一数学

命题人、审核人：高一数学备课组

本试卷满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

① ② ③ ④

A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱

2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A．， B．，

C．， D．，

3.复数在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A． B． C． D．

4.棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5.已知平面向量，，若，则（）

A．B．0C．D．

6.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）

A．B．C．D．

7.蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）

A．平方米 B．平方米

C．平方米 D．平方米

8.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法错误的是（）

A．为定值 B．当时，为定值

C．的取值范围是 D．的最大值为12

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列命题中的真命题是（）

A．若直线a不在平面内，则

B．若直线l上有无数个点不在平面内，则

C．若，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点

D．平行于同一平面的两直线可以相交

10.如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A． B．平面

C．三棱锥B-CEF的体积为定值 D．存在点E，使得平面平面

11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（）

A．若，则满足条件的三角形只有1个

B．△ABC面积的最大值为

C．△ABC周长的最大值为

D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.，是夹角为60°的两个单位向量，，，则与的夹角为.

13.已知，且，为虚数单位，则的最小值是.

14.如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里，与小岛D相距为公里.已知角A为钝角，且.

（1）求小岛A与小岛D之间的距离；

（2）记∠CDB为，∠CBD为，求的值.

16.（15分）

如图：在正方体中，，M为的中点.

（1）求三棱锥M-ABC的体积；

（2）求证：平面AMC

（3）若N为的中点，求证：平面平面．

17.（15分）

如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，，，

（1）证明：平面；

（2）若D是棱的中点，在棱AB上是否存在一点E，使平面？证明你的结论.

18.（17分）

已知向量，，且

（1）求，的值；

（2）求的取值范围；

（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.

19.（17分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c

（1）求A