新教材(广西专版)高考一轮复习高考解答题专项四第1课时证明平行、垂直与求空间距离课件.ppt

考点三求空间距离典例突破例3.(2023浙江绍兴一中模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.(1)证明:平面AEF⊥平面PBC;(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为,求点P到平面AEF的距离.(1)证明(方法1)∵PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,∴PA⊥BC.∵ABCD为正方形,∴AB⊥BC,又∵PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,∴BC⊥平面PAB.∵AE?平面PAB,∴AE⊥BC.∵PA=AB,E为线段PB的中点,∴AE⊥PB,又∵PB∩BC=B,PB?平面PBC,BC?平面PBC,∴AE⊥平面PBC.又∵AE?平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.高考解答题专项四第1课时证明平行、垂直与求空间距离立体几何中的综合问题考情分析从近两年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.必备知识1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,(2)平面的法向量:直线l⊥α平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2=0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为nl∥α(l?α)u⊥n?u·n=0l⊥αu∥n??λ∈R,使得u=λnn1,n2分别是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2=03.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的(3)若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cosn1,n2|4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离考点一证明平行、垂直典例突破例1.(2023全国乙,理19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,上,BF⊥AO.(1)证明:EF∥平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的大小.(2)证明因为D,O分别为PB,BC的中点,所以AO2+DO2=AD2,故AO⊥DO.因为EF∥DO,则AO⊥EF,又因为AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,所以AO⊥平面BEF.因为AO?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.又因为AB⊥BC,所以OF⊥BC,所以二面角P-BC-A的平面角为∠POF,设∠POF=θ(0°θ180°).以点O为坐标原点,OF,OC所在直线分别为x轴、y轴,过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,方法总结利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.证明由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几