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排队论课件课件

随机过程与数学建模

1.随机型问题

随机性和确定性是一对矛盾，它们既对立又统一。一般的问题

不是能明确划分的，常常两种性质都有，用不同的假设来处理

随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优

因此首先需要知道概率分布，再写出目标函数的数学期望的表

达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望

例题：一个私人牙科诊所很受欢迎，病人络绎不绝。来的有

三种病，一名

病名概率治疗时间平均

医生每天上午

和下午分别工A1/220分钟10

作3.5小时，都

是早8点挂的号，

B1/330分钟10

上午和下午分

别挂多少号最C1/690分钟15

适合？

平均看一个病人的时间显然是35分钟，3.5小时应该看6人。

大家想过没有，这样将会有一半的时间不能正常吃午饭！

如果6个人都是C病，全看完要9个小时！

那我们应该有什么样的结论呢？好像没什么好做的。真正要

解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。

再举一例：豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进，一旦羊发现

了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的

豹，到了15米羊就必然发现豹，怎样描述羊和豹在相距x米时

的发现概率。这是一个很让人深思的问题。

从视觉角度看发现一个物体应该和物体的像的面积成正比，

这样概率可看作是x的函数p(x)，并且是在15处取1，50处取0,

中间是递减的，进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度

函数，那它是什么呢？

2.随机过程初步知识

在概率论中学过随机向量(x,x,…,x)，相关学过联合分布、边缘

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分布、条件分布等概念，一起研究许多个比单个研究方便。

把随机向量的概念推广，一起研究无穷多个随机变量，就是随

机过程。注意无穷多有两种：可列多和连续多，对应就有随机

序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。

例1用x(t,ω)记（0，t)中接到的呼叫数。不同的t是不同

随机变量,不同的ω是不同的样本曲线。

例2用x(t,ω)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。

例3用x(n,ω),n=1,2,…记相互独立同分布的伯努利随机变量序列，

取值0和1，相应概率q和p，称为伯努利过程。

取值为0,1,2,…,称为二项计数过程，或随机游动。

例4用x(n,ω)记第n代生物群体的数量。

定义设{X(t),t>0}是一个随机过程，取定t,X(t)是一个随机变

量，它的分布函数

称为X(t)的一维分布函数，相应也有一维概率密度等概念。

定义设{X(t),t>0}是一个随机过程，取定s,t,X(s),X(t)是一

个二维随机变量，它的分布函数

称为(X(s),X(t))的二维分布函数。

定义设{X(t),t>0}是一个随机过程，取定t,t,…,t，

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X(t),X(t),…,X(t)是一个n维随机变量，它的分布函数

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随机过程的数字特征，对于

定义：称为均值函数；

称为方差函数；

称为协方差函数；

称为相关函数；

介绍一本教材：研究生教学用书

“随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院

陈良均朱庆棠

高教出版社

3.几种重要的随机过程

定义：如果对任意的正整数n及任意的t,t,…,t