培优专题13 等腰三角形.docx

9、等腰三角形

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质

有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解析】

例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

1

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝2

1

∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝2∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

1

所以∠1＝2∠ABC

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例2.如图，已知：?ABC中，AB?AC，D是BC上一点，且AD?DB，DC?CA，求?BAC的度数。分析：题中所要求的?BAC在?ABC中，但仅靠AB?AC是无法求出来的。因此需要考虑 AD?DB和

DC?CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

解：因为AB?AC，所以?B??C

因为AD?DB，所以?B??DAB??C；

因为CA?CD，所以?CAD??CDA（等边对等角）而?ADC??B??DAB

所以?ADC?2?B，?DAC?2?B

所以?BAC?3?B

又因为?B??C??BAC?180?

即?B??C?3?B?180?所以?B?36?

即求得?BAC?108?

说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。

例3.已知：如图，?ABC中，AB?AC，CD?AB于D。求证：?BAC?2?DCB。

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，?BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与?DCB的关系。

证明：过点A作AE?BC于E，?AB?AC

所以?1??2?1?BAC（等腰三角形的三线合一性质）2

因为?1??B?90?

又CD?AB，所以?CDB?90?

所以?3??B?90?（直角三角形两锐角互余）所以?1??3（同角的余角相等）

即?BAC?2?DCB

说明：

作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；