2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第2讲第1课时导数与函数的单调性一构造法在导数中的应用题型三通过数值构造具体函数.docVIP

题型三通过数值构造具体函数

1.已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(1,e)，c＝eq\f(2ln3,9)，则a，b，c的大小关系为_cab__.

[解析]令f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减．a＝eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln2,4)＝eq\f(ln4,4)＝f(4)，b＝eq\f(1,e)＝eq\f(lne,e)＝f(e)，c＝eq\f(2ln3,9)＝eq\f(ln9,9)＝f(9)，f(e)f(4)f(9)，即cab.

2．(2021·全国乙卷改编)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝eq\r(1.04)－1，则a，b，c，的大小关系为_bca__.

[解析]b－c＝ln1.02－eq\r(1.04)＋1，设f(x)＝ln(x＋1)－eq\r(1＋2x)＋1，则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝eq\f(1,x＋1)－eq\f(2,2\r(1＋2x))＝eq\f(\r(1＋2x)－?x＋1?,?x＋1?\r(1＋2x))，当x≥0时，x＋1＝eq\r(?x＋1?2)≥eq\r(1＋2x)，f′(x)≤0，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(0.02)f(0)＝0，即bc.a－c＝2ln1.01－eq\r(1.04)＋1，设g(x)＝2ln(x＋1)－eq\r(1＋4x)＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝eq\f(2,x＋1)－eq\f(4,2\r(1＋4x))＝eq\f(2[\r(1＋4x)－?x＋1?],?x＋1?\r(1＋4x))，当0≤x2时，eq\r(4x＋1)＝eq\r(2x＋2x＋1)≥eq\r(x2＋2x＋1)＝eq\r(?x＋1?2)＝x＋1，故当0≤x2时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增，所以g(0.01)g(0)＝0，故ca，从而有bca.

名师点拨：

当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．

【变式训练1】

1．设a＝eq\f(1,50)，b＝2lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)＋cos\f(1,100)))，c＝eq\f(6,5)lneq\f(51,50)，则a，b，c的大小关系为_cab__.

[解析]因为a＝lneeq\s\up10(\f(1,50))＝lne0.02，

b＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)＋cos\f(1,100)))2，c＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,50)))eq\s\up10(\f(6,5))，

所以只要比较x＝e0.02，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)＋cos\f(1,100)))2＝1＋sineq\f(1,50)＝1＋sin0.02，z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,50)))eq\s\up10(\f(6,5))＝(1＋0.02)1.2大小即可，

令f(x)＝ex－(1＋sinx)(x0)，则f′(x)＝ex－cosx0，

所以f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)f(0)，所以ex1＋sinx，

所以e0.021＋sin0.02，即xy1，

令g(x)＝(1＋x)1.2－ex，

则g′(x)＝1.2(1＋x)0.2－ex，

g″(x)＝0.24(1＋x)－0.8－ex，

因为g″(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g″(0)＝0.24－10，所以当x0时，g″(x)0，

所以g′(x)在(0，＋∞)上为减函数．

因为g′(0)＝1.2－10，g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2，要比较1.21.2与e0.2的大小只要比较ln1.21.2＝1.2ln1.2与lne0.2＝0.2的大小，

令h(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－x(x0)，则h′(x)＝ln(1＋x)＋1－1＝ln(1＋x)0，

所以h(x)在(0，＋∞)上递增，所以h(x)h(0)＝0，所以当x∈(0，＋∞)时(1＋x)ln(1＋x)x，

所以1.2ln1.20.2，所以1.21.2e0.2，

所以g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.