考研数学三(多元函数微分学与重积分)模拟试卷1(题后含答案及解析).docVIP

考研数学三（多元函数微分学与重积分）模拟试卷1(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．累次积分rf(rcosΘ，rsinΘ)dr等于()．

A．f(x，y)dx

B．f(x，y)dx

C．f(x，y)dy

D．f(x，y)dy

正确答案：D

解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，选

D．知识模块：重积分

填空题

2．设u＝u(x，y)二阶连续可偏导，且＝，若u(x,3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，则u”xy(x，3x)＝_____________．

正确答案：

解析：u(x，3x)＝x两边对x求导，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再对x求导，得u”xx(x，3x)＋6u”xy(x，3x)＋9u”yy(x，3x)＝0．由，得10u”xx(x，3x)＋6u”xy(x，3x)＝0，u’x(x，3x)＝x3两边对x求导，得u”xx(x，3x)＋3u”xy(x，3x)＝3x2，解得u”xy(x，3x)＝．知识模块：多元函数微分学

3．设(ay－2xy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，则a＝_____________，b＝_____________．

正确答案：a＝4，b＝－2

解析：令P(x，y)＝ay－2xy2，Q(x，y)＝bx2y＋4x＋3，因为(ay－2xy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，所以＝2bxy＋4＝＝a－4xy，于是a＝4，b＝－2．知识模块：多元函数微分学

4．设f(u)连续，则vf(u2－v2)dv＝_____________．

正确答案：－xf(x2－1)

解析：vf(u2－v2)dv＝－f(u2－v2)d(u2－v2)＝－f(t)dt，则vf(u2－v2)dv＝－f(t)dt＝－f(t)dt，vf(u2－v2)dv＝－xf(x2－1)．知识模块：重积分

5．设f(x)＝dt，则f(x)dx＝_____________．

正确答案：sintdt＝2

解析：f(x)dx＝dxdt＝dtdx＝sintdt＝2．知识模块：重积分

6．设f(x)连续，则＝_____________．

正确答案：

解析：tf(r2－t2)dt＝－f(r2－t2)d(r2－t2)＝f(u)du，cos(x＋y)dσ＝πr2cos(ξ＋η)，原式＝．知识模块：重积分

7．设f(x，y)在区域D：x2＋y2≤t2上连续且f(0，0)＝4，则＝_____________．

正确答案：8π

解析：由t－ln(1＋t)＝t－[t－＋o(t2)]～t2(t→0)，再由积分中值定理得f(x，y)dxdy＝f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，于是＝2πf(ξ，η)＝2πf(0，0)＝8π．知识模块：重积分

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8．设z＝z(x，y)满足x2＋y2＝z2，令，φ(u，v)＝证明：＝0．

正确答案：由则涉及知识点：多元函数微分学

9．求z＝x2＋12xy＋2y2在区域4x2＋y2≤25上的最值．

正确答案：当4x2＋y2＜25时。由得驻点为(x，y)＝(0，0)．当4x2＋y2＝25时，令F＝x2＋12xy＋2y2＋λ(4x2＋y2－25)，由得(x，y)＝(±2，3)，(±，±4)．因为z(0，0)＝0，z(±2，3)＝－50，z(土，±4)＝106，所以目标函数的最大值和最小值分别为106和－50．涉及知识点：多元函数微分学

10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为P1，P2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1＝24—0．2p1，q2＝10－0．05p2，总成本函数为C＝35＋40(q1＋q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?

正确答案：p1＝120－5q1，p2＝200－20q2，收入函数为R＝p1q1＋p2q2，总利润函数为L＝R－C＝(120－5q1)q1＋(200－20q2)q2－[35＋40(q1＋q2)]，由得q1＝8，q2＝4，从而p1＝80，p2＝120，L(8，4)＝605，由实际问题的意义知，当P1＝80，P2＝120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．涉及知识点：多元函数微分学

11．设二元函数f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)＝0．

正确答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，