2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用第2课时导数与不等式恒能成立.docVIP

洛必达法则

在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq\f(0,0)”型的代数式，就没法求其最值．“eq\f(0,0)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0.

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.

(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′?x?,g′?x?)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f?x?,g?x?)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′?x?,g′?x?)＝A．

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞.

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.

(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′?x?,g′?x?)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f?x?,g?x?)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′?x?,g′?x?)＝A．

已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围．

[解析]方法一：令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x0)，

则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.

∵x0，∴ln(x＋1)0.

①当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)0，

∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又φ(0)＝0，∴φ(x)0恒成立，故a≤1满足题意．

②当1－a0，即a1时，

令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，

∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)0；

x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)0，

∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递减，

在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(ea－1－1)φ(0)＝0与φ(x)0恒成立矛盾，故a1不满足题意．

综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．

方法二：当x∈(0，＋∞)时，

(x＋1)ln(x＋1)ax恒成立，

即aeq\f(?x＋1?ln?x＋1?,x)恒成立．

令g(x)＝eq\f(?x＋1?ln?x＋1?,x)(x0)．

∴g′(x)＝eq\f(x－ln?x＋1?,x2).

令k(x)＝x－ln(x＋1)(x0)，

∴k′(x)＝1－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x,x＋1)0，

∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴k(x)k(0)＝0，

∴x－ln(x＋1)0恒成立，

∴g′(x)0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

由洛必达法则知

eq\o(lim,\s\do4(x→0))g(x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(?x＋1?ln?x＋1?,x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))[ln(x＋1)＋1]＝1，

∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．

【变式训练】

已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；

(2)当x0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．

[解析](1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，

依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，∴a＝eq\f(1,2).

经检验a＝eq\f(1,2)符合题意．

(2)方法一：当x0时，f(x)≥0，

即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，

令φ(x)＝ex－1－ax(x0)，则φ(x)min≥0，

φ′(x)＝ex－a.

①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a0，

∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．

②当a1时，若0xlna，则φ′(x)0，

若xlna，则φ′(x)0.

∴φ(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(lna)＝a－1－alna≥0.

令g(a)＝a－1－alna(a1)，

∴g′(a)＝1－(1＋lna)＝－lna0，

∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．

∴g(a)g(1)＝0与g(a)≥0矛盾，

故a1不满足条件，

综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．

方法二