2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值最值.docVIP

利用导数研究生活中的优化问题

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．

(1)求V关于θ的函数表达式；

(2)求当体积V最大时θ的值．

[解析](1)梯形ABCD的面积S梯形ABCD＝eq\f(2cosθ＋2,2)·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

体积V＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(2)V′＝10(2cos2θ＋cosθ－1)＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1)．

由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得cosθ∈(0,1)．

令V′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍)．

∴θ＝eq\f(π,3).

当θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，eq\f(1,2)cosθ1，V′0，

V＝10(sinθcosθ＋sinθ)单调递增；

当θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，0cosθeq\f(1,2)，V′0，V＝10(sinθcosθ＋sinθ)单调递减．∴当θ＝eq\f(π,3)时，体积V最大．

名师点拨：

利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤

提醒：在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解．

【变式训练】

一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产品，月固定成本为1万元，设此工厂一个月内生产该特殊产品x万件并全部销售完．根据当地政府要求产量x满足1≤x≤3，每生产x万件需要再投入3x万元，每1万件的销售收入为5－eq\f(1,3)x2(万元)，且每生产1万件产品政府给予补助1＋eq\f(2lnx,x)(万元)(注：月利润＝月销售收入＋月政府补助－月总成本)．

(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；

(2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量(万件)．

[解析](1)设该工厂一个月内生产该特殊产品x万件，依题意，

f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,3)x2))＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2lnx,x)))－3x－1＝－eq\f(1,3)x3＋3x＋2lnx－1，

所以利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式为f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋3x＋2lnx－1,1≤x≤3.

(2)f′(x)＝－x2＋3＋eq\f(2,x)＝－eq\f(x3－3x－2,x)＝－eq\f(?x＋1?2?x－2?,x)，

所以当1≤x2时，f′(x)0，函数f(x)在区间[1,2)上单调递增；

当2x≤3时，f′(x)0，函数f(x)在区间(2,3]上单调递减，

所以当x＝2时，函数在区间[1,3]上取得最大值f(2)，f(2)＝eq\f(7,3)＋2ln2.

故该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋2ln2))万元，此时的月生产量为2万件．