概率统计与矩阵分析.doc

概率论与数理统计

随机变量的分布

分布函数F(X)：F(x)表示随机变量X落在区间(－∞，x]上的概率。

随机变量：离散型、非离散型〔连续型、奇异型〕

离散型随机变量分布：0－1分布、二项分布、泊松分布

连续型随机变量分布：均匀分布(uniformdistribution)、正态分布〔高斯分布normalorGaussiandistribution〕、指数分布(exponentialdistribution)

正态分布

，X的分布密度函数

指数分布

，X的分布密度函数

X的分布函数

随机变量的数字特征

数学期望〔平均值〕〔反映统计变量自身特征〕

数学期望的性质

〔X、Y相互独立〕

方差〔variance〕〔反映统计变量自身特征〕

标准差〔均方差〕

方差的性质

协方差〔convariance〕和相关系数〔反响统计变量之间的关系〕

协方差的性质

〔柯西施瓦兹不等式〕

协方差与X，Y量纲有关，为更好地反映随机变量X，Y之间的关系，引入相关系数

，

X，Y独立，那么不相关。X，Y不相关，那么不一定独立。

〔X，Y〕服从二维正态分布时，X和Y不相关，那么X与Y独立。反之亦然。

矩和协方差矩阵

数学期望、方差、协方差均可以看作矩的特例

X的k阶原点矩

X的k阶中心矩

二维随机向量〔X，Y〕

X，Y的〔k+l〕阶混合原点矩

X，Y的〔k+l〕阶混合中心矩

随机向量〔X，Y〕的协方差矩阵，即为它们的4个二阶中心矩。

假设〔X，Y〕~，那么〔X，Y〕的协方差矩阵为

矩阵行列式性质

行列式与它的转置行列式相等

互换行列式两行〔列〕，行列式变号

如果行列式有两行〔列〕相同，那么行列式为零

行列式的某一行〔列〕同乘一数k，等于用数k乘此行列式

行列式中如果两行元素成比例，那么行列式为零

如果行列式中某一行〔列〕元素都是两数之和，那么行列式等于该两数列分别形成行列式之和

把行列式某一行〔列〕乘一数加到另一行〔列〕对应元素上，行列式值不变

正定矩阵的判定

A为实对称阵n×n

←→对任意向量x有，x’Ax0〔定义〕

←→A的所有特征值都是正数

←→存在非奇异阵P，使得A＝P’P

←→各阶顺序主子矩阵都是正定矩阵〔由定义推得〕

实对称矩阵的正负定性质

A0→tr(A)λi(i=1,…,n)

A≥0→tr(A)≥0(i=1,…,n)

A0→A-10

A0→任一n阶非奇异阵C，C’AC0

A≥0→任一n×m矩阵C，C’AC≥0

克罗内克(kronecker)积,ordirectproduct,tenserproduct,kroneckerproducct

这种乘积不受矩阵行数和列数的限制。

定义：，，那么

为A的克罗内克积，或称A与B的直积，或张量积tensorproduct，记为。

性质

，，

的mp个特征值，对应的特征向量

相似于

克罗内克(kronecker)和

矩阵的特征值是，特征向量是

元素为1或－1的矩阵，，那么H称为n阶哈达马矩阵。

矩阵拉直运算matrixstraightoperator

，

，，，

一般线性矩阵方程

通过矩阵拉直，可以求解未知矩阵X，以上方程转化为

，

矩阵方程有唯一解的充要条件是

矩阵方程有唯一解的充要条件是

函数f(x)在x+Δ处的泰勒展开

Fourier变换

正变换

逆变换

Matlab内建傅立叶变换公式

正变换

逆变换

clc;clear;

Fs=1000;%Samplingfrequency

dT=1/Fs;%Sampletime

L=1000;%Lengthofsignal

t=(0:L-1)*dT;%Timevector

%Sumofa50Hzsinusoidanda120Hzsinusoid

x=0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);

y=x+2*randn(size(t));

%2^NFFT=abs(L)

NFFT=2^nextpow2(L);%Nextpowerof2fromlengthofy

Y=fft(y,NFFT);

Ynew=ifft(Y,NFFT);

y(end+1:NFFT,1)=0;

fork=1:NFFT

Y1(k,1)=sum(y(1:NFFT).*exp(-i*2*pi*(0:NFFT-1)*(k-1)/NFFT));

end

forj=1:NFFTynew1(j,1)=sum(Y1(1:NFFT).*exp(i