高数重积分概念与性质.pptx

第10章

多元函数的积分学

重积分

曲线积分

曲面积分

重积分

1.2重积分的性质

第1节

1.1重积分的概念

重积分的概念与性质

第10章

解法:

1.1重积分的概念

例1.1曲顶柱体的体积

设给定曲顶柱体:

底：

顶:

侧面：

行于z轴的柱面.

“分割,近似,求和,取极限”

求其体积.

引例

类似定积分的方法:

连续曲面

以D的边界为准线,母线平

xy平面上的闭区域D.

问题:

(1)分割:

用任意方式分D为n个区域

相应地,曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.

(2)近似:

在每个

(3)求和:

则

中任取一点

得到体积的近似值

则

(4)取极限:

最大值,

的面积也记为

令为n个小区域直径的

例1.2

设有一平面薄片,在xy平面上占有区域D,

计算该薄片的质量M.

为连续函数

其面密度

(1)分割:

用任意方式把D分为n个小区域

相应把薄片也分为n个小块.

平面薄片的质量

(2)近似:

中任取一点

则第k小块的质量

(3)求和:

(4)取极限:

令λ为个小区域直径的最大值,

则

得到质量的近似值

两个问题的

(1)解决问题的步骤相同:

(2)所求量的结构式相同

“分割,近似,求和,取极限”

曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:

共性：

任意分成n个小区域

是小区域直

在每个小区域

将D

作和式

上任取一点

此和式的极限总存在:

设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.

定义1.1

径的最大值.

若当

积分和

积分域

被积函数

被积表达式

面积元素

称为积分变量

在D上

则称

可积,

在D上的

称I为

二重积分.

记作

例1.1中曲顶柱体体积:

例1.2中平面薄板的质量:

也常记

二重积分也可以记作

这时

分区域D,

因此面积元素

则可用平行坐标轴的直线来划

若函数f(x,y)

(证明略).

函数的可积性

则f(x,y)在D上可积.

在有界闭区域D上连续,

以后总是设f(x,y)在有界闭区域D上连续.

若f(x,y)在D上可积,

根据二重积分的定义知道:

或分片连续,

作

三重积分的概念

类似二重积分的思想,利用

引例

物质,

求分布在V内的

的方法,可得

“分割,近似,求和,取极限”

物质的质量M.

密度函数为连续函数

设在空间有限闭区域V内分布着某种不均匀的

定义1.2

将Ω任意分成n个小区域

是各小区域直径的最大值.

在Ω上

三重积分.

是空间有界闭区域Ω上的有界函

在每个区

上任取一点

该和式的

则称

称I为f在Ω上的

设

称为体积元素,

在直角坐标系下常写作

引例中的内的物质的质量

若当

数.

域

作和式

极限总存在:

可积,

记作

1.2重积分的性质

(k为常数)

(2)(对积分域的可加性)

(1)线性性质

(以二重积分为例):

则

(3)(单调性)

若在D上

设

并且

没有公共内点,

则

(4)

(5)

最小值m,

则有

设

(6)(积分中值定理)

在闭区域D上连续,

则存在点

使得

用A表示D的面积,则

(7)

若在D上

在D上存在最大值Ｍ和

D的面积为A.

(积分估值定理)

D的面积为A.

估计积分

例1.3

的大小,其中

显然函数

解

在D上的最大值和

而积分域D的面积A＝2.

根据积

最小值分别是1和4,

分估值定理,有

■

例1.4

其中

解

而D位于于直线的上方,

从而在D上

因此在D上

根据积分的单调性,得

的大小,

积分域D的边界为圆周

比较

设函数

例1.5

在闭区域

因为

解

在Ω上连续,

分中值定理,

使得

由积

上连续.

求极限

存在

设Ω的体积为V.

因为当时,

而在

点处连续,

所以

补充例估计下列积分之值

解

由于

积分估值定理

即:1.96I2

D

D的面积为