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专项突破五直线与圆锥曲线在高考中的热点题型
最值、范围问题
1.已知斜率为-1的直线过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线上弧AB上的动点,|AB|=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
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2.已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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3.(2021·安徽合肥第二次质检)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点的距离为10.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|·|BQ|的取值范围.
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4.(2021·四川省成都市高三一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到其两个焦点F1,F2的距离之和等于25,焦距为2c,圆O:x2+y2=c2,A1,A2是椭圆的左、右顶点,AB是圆O的任意一条直径,四边形A1
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l1:y=kx+m(m≠0)与圆O相切,且与椭圆分别相交于M,N两点,直线l2与l1平行且与椭圆相切于点P(O,P两点位于l1的同侧),求直线l1,l2的距离d的取值范围.
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定点、定值问题
1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的上顶点到右顶点的距离为7,离心率为12,过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线l的方程为x=-2a,过点M作ME
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)①求证线段EN必过定点P,并求定点P的坐标;
②已知O为坐标原点,求△OEN面积的最大值.
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2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同的点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
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3.(2022·西南四省名校大联考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M3,1
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过定点N(-1,0)的直线与椭圆E交于C,D两点(与A,B不重合),证明:直线AC与BD的交点的横坐标为定值.
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4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,求证:1λ+1μ
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判断位置关系、证明、探索性问题
1.如图,已知抛物线C:y2=8x的焦点是F,准线是l.
(1)写出焦点F的坐标和准线l的方程.
(2)已知点P(8,8),若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:MF⊥NF.
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2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点M3,3
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知P为椭圆C上一点,射线PF1,PF2分别交椭圆C于点A,B,试问|PF1||AF1|+|P
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3.(2022·吉林长春模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且满足|PF1|=4,|PF1
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知过点(2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M,N两点,在x轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=
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