数值方法第二章-插值法2.pptVIP

§1引言1.1插值问题及代数多项式插值二、几何解释：1.2插值多项式的存在与唯一性§2拉格朗日插值多项式2.1.插值基函数.2.2.Lagrange插值多项式特例：n=1得两点插值公式n=2时例题1：已知分别用线性插值和抛物线插值求的近似值。请同学们看课本p34页解答。课堂练习为了便于上机，我们常将Lagrange插值多项式改写成：2.3插值余项在插值区间[a,b]上用插值多项式p(x)近似代替f(x)，除了在插值节点上没有误差外，在其他点上一般都存在有误差。若记：Rn(x)=f(x)-Pn(x)Rn(x)称为插值多项式Pn(x)的余项。可以根据下面的定理来估计它的大小。Langrange插值优缺点：（1）优点：简单，对称（2）不足：无继承性为了提高精度有时需增加结点,但这时原来求的全改变,即所有的基函数都要重新计算，原来的数据不能利用，浪费资源。2.4事后误差估计一般直接应用余项公式来估计误差是困难的，常采用一种事后估计法。设x0<x<x1<x2,且f(xi)(i=0,1,2)已知，若将用x0,x1两点作线性插值所求得y的近似值记为y1，将用x0,x2两点作线性插值所求得y的近似值记为y2，则由余项公式知：得：3.牛顿插值多项式优点:具有严格的规律性,便于记忆.缺点:不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.为了克服这一缺点,将建立具有承袭性的插值公式—Newton插值公式.2.差商表例3.1试列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解：计算得如下表练习:已知函数y=f(x)的观测数据如表，试构造均差表，并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。性质3(差商与导数的关系)f(x)∈Ck[a,b],设x为插值区间内的一个节点运用Newton插值公式进行计算时,先计算f(x)关于

节点x0,…,xn的各阶差商.计算过程如下表所示..xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商n阶差商例3.2已知列表函数,试求满足下述插值条件的3次Newton插值多项式。§3.2差分与等距节点的Newton插值公式一般地,称k-1阶差分的差分为k阶差分,如二阶向前和向后差分分别为例3.3给定f(x)在等距节点上的函数值表如下:xi0.40.60.81.0f(xi)1.51.82.22.8分别用Newton向前和向后差分公式,求f(0.5)及f(0.9)的近似值.解先构造向前差分表如下:xifi△fi△2fi△3fi0.41.50.30.61.80.10.40.10.82.20.20.61.02.8x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:练习已知函数f(x)的数值表,试分别求出的三次Newton向前和向后插值公式；并分别计算x=0.5和x=2.5时，f(x)的近似值。4分段低次插值分段线性插值分段抛物插值5三次样条插值5.1三次样条插值函数的概念5.2三次样条插值函数的求法(2)在第二种边界条件下，由于6数值微分小结插值问题是一个古老而使用的课题，它是数值微积分、函数逼近、微分方程数值解等数值分析的基础，理论上非常重要。拉格朗日插值理论线索清晰，但是Newton插值计算更简单。样条插值在实际应用中有重要的意义。6.1、插值型求导公式定义1:若函数f(x)在节点