广东省珠海市六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题.docx

2023-2024学年第二学期高一年级期中学业质量监测试题

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字这钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

2.在中，若，，则等于（）

A. B. C. D.

3.已知向量，，且，则实数的值为（）

A. B.3 C.8 D.12

4.已知向量，，且，则的值是（）

A. B. C. D.

5.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）

A. B. C. D.4

6.已知，，为非零平面向量，则下列说法正确的是（）

A. B.若，则

C.若，则， D.

7.在中，角A，B，C所对边分别为，，，，则值等于（）

A. B. C. D.

8.在等边三角形的三边上各取一点D，E，F，满足，，，则三角形的面积的最大值是（）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，至少有两项符合题目要求.

9.已知向量，，则（）

A. B.

c. D.与向量同向的单位向量是

10.已知复数的共轨复数为，则下列说法正确的是（）

A.一定是实数 B.一定是实数

C.定是纯虚数 D.

11.已知点是的重心，则下列说法中正确的有（）

A. B.

C. D.

12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A.若，则为锐角三角形

B.若为锐角三角形，则

C.若，则为等腰三角形或直角三角形

D.若，则是直角三角形

三、填空題：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数满足，则的虚部为__________，__________.

14.已知平面向量，，且，则__________.

15.已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为__________.

16.在中，，，则的最大值为__________.

四、解答题

17.（10分）已知复数（其中且，i为虚数单位），且为纯虚数.

（1）求实数a的值：

（2）若，求复数的共轭复数.

18.（12分）如图，已知，.

（1）求线段AB的中点M的坐标；

（2）若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.

19.（12分）如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对.记为.在斜坐标系中完成下列问题：

（1）若，，求；

（2）若，求.

20.（12分）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得，，，，那么此时A，B两点间的距离是多少？

21.（12分）在平面直角坐标系中，设向量，，其中A，B分别是的两个内角.

（1）若，求的值：

（2）若，，求的面积的最大值.

22.（12分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.

（i）若，足够长，求机器人乙能否挑战成功.

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

2023-2024学年第二学期高一年级期中学业质量监测试题

高一数学·参考答案

一二、选择题（每题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

答案

A

D

A

B

B

C

题号

7

8

9

10

11

12

答案

C

A

AD

AB

AB

BCD

三、主观题（每题5分）

13. 5

14. 15. 16.

四、解答题