考研数学高等数学强化习题不定积分.docx

模块五 不定积分

Ⅰ经典习题

一．原函数与不定积分

?ex,x?0

1、设f(x)??

?xsin

，

，g(x)??

1,x?0

x

下述命题成立的是（ ）

?x,x?0

??0, x?0

（A）f(x)在[?1,1]上存在原函数 （B）g?(0)存在

（C）g(x)在[?1,1]上存在原函数 （D）F(x)??x

?1

f(t)dt，则F?(0)存在

2、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )

(A)1?sinx (B)1?sinx

\

(C)1?cosx (D)1?cosx

3、在下列等式中,正确的结果是 ( )

d

(A)

dx

?f?x?dx?f?x? (B)?f??x?dx?f?x?

(C)?df?x??f?x? (D)d?f?x?dx?f?x?

4、已知F?x?是f?x?的一个原函数，则?e?xf?e?x?dx? .

二．有理函数积分

5、计算下列不定积分

?x3?x2?1

?? 2x???3 ?

（1）

x2?1

dx （2）

x2?1

dx

x2?1

;

（3）? x?5

dx （4）? x2 dx

x2?6x?13

（5）? 1

(2x?1)(x2?1)

(x?1)100

dx （6）? 1 dxx(x?1)2

（7）?

1??x7

?dx （8）?

6x2?11x?4dx

x1?x7 x(x?1)2

（9）??

? dx （10）??

x3?4x2?x dx

1x2?x?2

1

?x?1?2

x2?x?1??x?2?2

（11）? x2

dx （12）?

?x2?1

?dx

1?x4 x

x3?1

（13）?

x3?1

dx （14）? dx

x3?5x?6 x4?x2?1

三．可化为有理函数的积分

三角有理式

（

6、计算下列不定积分

（1）?

1?sinx dx （2）?

? ?sinx1?cos

? ?

dx

sinxcos3x

（3）?

sin3x

dx （4）?

1 dx

2?cosx 1?cos2x

（5）?

sinx1?sinx

dx （6）?

1 dx

a2sin2x?b2cos2x

（7）?

1 dx?ab?0? （8）??

1? dx

?asinx?bcosx?2

2?cosx

sinx

（9）?tanxcos6xdx

sin4x

指数有理式的积分

7、计算下列不定积分

（10）?

1 dx

sin4x

.

（1）?

e3x?1dx

（2）?

1 dx

ex?1 1?e2x

（3）?

1 dx

（4）??

1 ?dx

ex?e?x

1?ex2

四．根式的处理

8、计算下列不定积分

x?4x（1）? 1

x?4x

4 x3

4 x3?1?x?

（3）?

x?2?3 x?1dx （4）?e

4 x

2x?1dx

（5）?

（7）?

1 dx （6）? x2?9dxx

x 3x2?2x?1x

x 3x2?2x?1

x4 1?x2

?x

2

a

2

?3

,

9、计算下列不定积分

（1）?

x?

1

a2?x2

dx?a?0? （2）? 1 dx

x x2?2x?3

(2?x

(2?x2) 1?x2

xdx

（4）?

x2?1dxx4

3 ?x?1??x?1

3 ?x?1??x?1?2

x?1

1 dx

五．分部积分法的使用

10、计算下列不定积分

（1）?lnsinxdx （2）?

sin2x

lnx dx

?1?x?2

（3）?xsin2xdx （4）?

x2

arctanxdx

1?x2

》

（5）?

x?ln?1?x? arctanex

dx （6）? dx

x2 e2x

（7）??arcsinx?2dx （8）?lnx?1dxx2

11、计算下列不定积分

x?（1）?

x

?

ln2 x?

dx （2）?

ln2xdx

1?x2x?

1?x2

x