《函数极值的定义》课件.pptxVIP

函数极值的定义制作人：时间：2024年X月

目录第1章简介

第2章函数极值的计算方法

第3章函数极值的应用

第4章总结

01第1章简介

课程简介本课程将介绍函数极值的概念和求解方法，帮助大家更好地理解函数及其应用

函数的定义函数是一种映射关系，把每个自变量对应到唯一的函数值，自变量的取值范围叫做定义域，函数值的取值范围叫做值域

函数的定义下面是一个函数的图像表示，可以看出，y轴上的每一个数值只对应一个x轴上的数值，这就是函数的定义

导数的概念导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率，也可理解为斜率。导数越大，函数在该点附近变化越快

导数的几何意义如下图所示，导数就是函数图像上某一点处切线的斜率值

函数极值的概念函数极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值，其所在的自变量的值叫做极值点。若极值点在定义域内，则称其为内部极值，否则为外部极值

函数极值的求解方法通过导数判断局部极值点一阶导数法通过导数的变化来判断极值点的类型二阶导数法通过求解在定义域边界处的函数值来判断是否存在外部极值边界法

在物理学中，导数可以理解为速度，表示物体在某一瞬间的运动速度速度0103在几何学中，导数可以理解为曲线的曲率，表示曲线某一点的弯曲程度曲率02导数的二阶可以表示加速度，表示物体在某一瞬间的加速度大小加速度

函数递减导数小于0

函数图像呈现右下降的趋势函数极值导数为0

函数图像在该点处出现拐点函数的拐点导数的一阶变化率为0，二阶变化率不为0

函数图像呈现凸向上或凸向下的形状函数与导数的关系函数递增导数大于0

函数图像呈现右上升的趋势

02第2章函数极值的计算方法

函数极值的充分条件函数在极值处的一阶导数为0，且二阶导数有定符号时，该极值是极大值或极小值。

极值判定定理在可能的极值点处求一阶导数，若导数为0，该点可能是极值点，需要进一步判断是极大值还是极小值。一阶导数为零在可能的极值点处求二阶导数，若导数有定符号，则该点是极值点，并且它是极大值或极小值取决于符号。二阶导数定符号在可能的极值点处求高阶导数，若导数均为0，则需要使用泰勒展开法或隐函数求极值。高阶导数为零

泰勒展开法求极值泰勒展开法基于泰勒公式，将函数在某个点处展开成幂级数，然后求得该点的极值。泰勒展开法是一种求函数极值的常用方法。

泰勒展开法求极值的操作步骤通常选择函数的驻点或极值点作为展开点，以简化计算。确定函数的展开点根据泰勒公式，将函数展开成幂级数，保留一定的项数。求得函数的泰勒展开式将展开式求导，令导数为0，解出极值点的值。求得展开式的极值点根据二阶导数定符号，判断极值点是极大值还是极小值。判断极值点的正负性

将含有两个变量的函数表示为一个变量关于另外一个变量的隐函数，然后求得隐函数的极值。基本思路0103根据隐函数的定义，可以求得隐函数关于自变量的导数和高阶导数。隐函数的求导法则02对于关系式F(x,y)0，如果在某个点(x0,y0)处，F对y的偏导数不为0，则可以唯一确定一个函数y=g(x)，该函数称为F(x,y)=0所定义的隐函数。隐函数的定义

条件极值的求解条件极值是在给定一些约束条件下，求函数极值的问题。常用的方法是使用拉格朗日乘数法。

条件极值的形式对于一个形如F(x,y,z,...)=0的条件极值问题，引入一个未知的拉格朗日乘数λ，构造拉格朗日函数L(x,y,z,...,λ)=f(x,y,z,...)+λF(x,y,z,...)，将问题转化为未约束的极值问题。求解方法对拉格朗日函数求一阶偏导数，并令导数为零，解出所有自变量和乘数λ的值即可。拉格朗日乘数法的基本理论未约束的极值问题对于一个未约束的极值问题，通过一阶导数为零来求得极值点。

总结常用的包括极值判定定理、泰勒展开法、隐函数求极值和拉格朗日乘数法。函数极值的计算方法有多种需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。不同方法适用于不同情况对于函数极值的计算和应用有很大帮助。熟练掌握各种方法

03第3章函数极值的应用

函数极值在数学中的应用导数、微积分数学分析方程、不等式代数最大值、最小值、极值概率论与数理统计

函数极值在数学中的应用函数极值是数学中一个重要的概念。在数学分析、微积分、代数等领域中，函数极值的研究有重要的理论与实际意义。

函数极值在物理中的应用加速度、速度运动学力的最大值、最小值力学电势、电场电磁学熵的最大值、最小值热力学

最大高度、最远距离等问题运动学0103电势、电场的最大值、最小值问题电磁学02杆上质点、曲线运动问题等力学

函数极值在物理中的应用函数极值是物理学中一个极其重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解自然现象，还可以直接应用于物理模型的建立和求解。在运动学、力学、电磁学、热力学等领域中，函数极值的应用非常广泛