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2022-2023学年北京高三5月教学质量检查数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()
A.1 B. C.3 D.4
2.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()
A.2 B. C. D.
3.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()
A. B. C. D.
4.已知函数,则()
A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称
5.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
6.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()
A.2 B. C. D.
7.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()
A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4
C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8
8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若集合,,则()
A. B. C. D.
10.若,则,,,的大小关系为()
A. B.
C. D.
11.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()
A. B. C. D.
12.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设定义域为的函数满足,则不等式的解集为__________.
14.实数满足,则的最大值为_____.
15.已知二面角α﹣l﹣β为60°,在其内部取点A,在半平面α,β内分别取点B,C.若点A到棱l的距离为1,则△ABC的周长的最小值为_____.
16.已知在等差数列中,,,前n项和为,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,角,,的对边分别为,其中,.
(1)求角的值;
(2)若,,为边上的任意一点,求的最小值.
18.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;
(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.
(1)若平面,证明:平面.
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)已知a,b∈R,设函数f(x)=
(I)若b=0,求f(x)的单调区间:
(II)当x∈[0,+∞)时,f(x)的最小值为0,求a+5b的最大值.注:
21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为,试求点的坐标.
22.(10分)已知函数,.
(1)求的值;
(2)令在上最小值为,证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.
【详解】
根据三视图可知:该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥,长度如上图
所以
所以
所以
故选:A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.
2、D
【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.
【详解】
由题意是的重心,
,
∴,,
∴,
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他
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