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2022-2023学年北京市西城区第三十九中高三下学期期中联考数学试题[理]试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若曲线上始终存在两点,,使得,且的中点在轴上,则正实数的取值范围为()
A. B. C. D.
2.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()
A. B. C.2 D.﹣2
3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的方程是
A. B.
C. D.
4.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()
A. B.(1,2), C. D.
5.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和棱上任意一点,则的最小值为()
A. B. C. D.
6.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知为等比数列,,,则()
A.9 B.-9 C. D.
8.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为()
A. B.
C. D.
9.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取值范围为()
A. B.
C. D.
10.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
11.已知复数和复数,则为
A. B. C. D.
12.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()
A.2 B.3 C.4 D.1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知正项等比数列中,,则__________.
14.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.
15.已知,则满足的的取值范围为_______.
16.已知关于的方程在区间上恰有两个解,则实数的取值范围是________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知向量,函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.
18.(12分)已知函数.
⑴当时,求函数的极值;
⑵若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.
19.(12分)已知,,
(1)求的最小正周期及单调递增区间;
(2)已知锐角的内角,,的对边分别为,,,且,,求边上的高的最大值.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.
(1)写出圆C的直角坐标方程;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,,求的值.
21.(12分)如图1,四边形为直角梯形,,,,,,为线段上一点,满足,为的中点,现将梯形沿折叠(如图2),使平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)能否在线段上找到一点(端点除外)使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
22.(10分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选
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