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2022-2023学年南昌市第二中学高三下学期两校期中联考数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()
A. B. C. D.
2.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()
A. B. C. D.
3.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()
A. B.
C. D.
4.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
5.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内(包括边界),则
A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-3
7.已知随机变量服从正态分布,且,则()
A. B. C. D.
8.函数在上的最大值和最小值分别为()
A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-2
9.等比数列若则()
A.±6 B.6 C.-6 D.
10.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()
A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣12
11.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
12.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()
A.2 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与,则展开式所有项系数之和为______.
14.展开式中的系数为________.
15.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.
16.设等差数列的前项和为,若,,则______,的最大值是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区,如图,已知两个购物广场的占地都呈正方形,它们的面积分别为13公顷和8公顷;美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形,分别记它们的面积为公顷和公顷;由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形,分别记它们的面积为公顷和公顷.
(1)设,用关于的函数表示,并求在区间上的最大值的近似值(精确到0.001公顷);
(2)如果,并且,试分别求出、、、的值.
18.(12分)的内角所对的边分别是,且,.
(1)求;
(2)若边上的中线,求的面积.
19.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:
20.(12分)已知函数的最大值为,其中.
(1)求实数的值;
(2)若求证:.
21.(12分)已知不等式的解集为.
(1)求实数的值;
(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.
22.(10分)已知椭圆的右焦点为,过作轴的垂线交椭圆于点(点在轴上方),斜率为的直线交椭圆于两点,过点作直线交椭圆于点,且,直线交轴于点.
(1)设椭圆的离心率为,当点为椭圆的右顶点时,的坐标为,求的值.
(2)若椭圆的方程为,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解:根据题意,将五个“完全数”随
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