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2022-2023学年吉林省辽源市田家炳高级中学高三第五次月检测试题数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()
A. B. C. D.
2.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()
A. B.
C.6 D.
3.已知函数,.若存在,使得成立,则的最大值为()
A. B.
C. D.
4.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()
A. B. C. D.
5.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()
A.1 B. C.2 D.3
6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().
A.收入最高值与收入最低值的比是
B.结余最高的月份是月份
C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
D.前个月的平均收入为万元
7.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.已知随机变量的分布列是
则()
A. B. C. D.
9.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()
A.40 B.60 C.80 D.100
10.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()
A.内有无数条直线与平行 B.且
C.且 D.内的任何直线都与平行
11.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
12.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.
14.已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____.
15.已知正实数满足,则的最小值为.
16.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意都有,求实数的取值范围.
18.(12分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1
2
3
4
5
6
7
5
8
8
10
14
15
17
(1)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.
参考公式:,,,.
19.(12分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如下:
一周课外读书时间/
合计
频数
4
6
10
12
14
24
46
34
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.17
1
(1)根据表格中提供的数据,求,,的值并估算一周课外读书时间的中位数.
(2)如果读书时间按,,分组,用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数;
②若从,中抽出的学生中再随
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