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2022-2023学年吉林省长春市一五一中高三下学期第四次段考数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()
A. B. C. D.
2.已知实数满足不等式组,则的最小值为()
A. B. C. D.
3.天干地支,简称为干支,源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成,以此往复,60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份,则这2个年份的天干或地支相同的概率为()
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()
A. B.2 C. D.3
5.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()
A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]
6.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()
A.7 B.5 C.3 D.2
7.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()
A.156 B.124 C.136 D.180
8.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()
A. B. C. D.
9.设命题:,,则为
A., B.,
C., D.,
10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()
A. B. C. D.
11.是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知复数,其中为虚数单位,则()
A. B. C.2 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.
14.已知函数的最大值为3,的图象与y轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则
15.函数的最大值与最小正周期相同,则在上的单调递增区间为______.
16.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,、、分别是角、、的对边,且.
(1)求角的值;
(2)若,且为锐角三角形,求的取值范围.
18.(12分)如图所示,在四面体中,,平面平面,,且.
(1)证明:平面;
(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.
19.(12分)设椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,点D在椭圆C上,的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:为定值.
20.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.
21.(12分)在数列中,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
22.(10分)设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
函数(为辅助角)
∴函数的最大值为,最小正周期为
故选B
2、B
【解析】
作出约束条件的可行域,在可行域内求的最小值即为的最小值,作,平移直线即可求解.
【详解】
作出实数满足不等式组的可行域,如图(阴影部分)
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