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一个等式的证明及推广

高中《数学课程标准》(实验)指出：倡导积极主动、合作交流、勇于探索的学习方式,发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。在数学高考复习教学中，我们要充分展示典型例题的“再创造”，发挥其辐射功能，挖掘其内在的教学价值，引导学生探究学习，促使学生充分发挥潜能，让学生感受知识的生成和发展过程，在感悟中掌握数学知识。本文就以课本上的一道习题为例展示探究和再创造的过程。

题目：+〃。；=〃?2〃一

分析1：这是一个与自然数n有关的命题,所以我们会很自然想到用数学归纳法来解决。

证明1：①n=l时，左边二右边=1等式成立；

②假设n=k时等式成立，即c；+2c；+3c；+…+Z/=h2-成立，则n=k+l时，

4+i+2ch+3c；+i+…+姐+i+(4+1)

=(c；+c；)+2+c；)+3代+/)++碓3+*+(左+1)《

=2(c：+2c；+3c；++)++《+，++)

=2k. +2k

=(4+1).2

分析2：等式左边的系数满足等差数列，而等差数列的求和可以用倒序相加法，那么这个等式的求和是否也可以用倒序相加法呢？

证明2：设s=c：+2q；+3c：++①

则s=〃c： +.??+2q；+q；

=%:+(〃-1)4+ +2c；2+c尸②

①，②两式相加得

2s=财+[l+(n-l)](:i+[2+(〃-2)]q；++[(n-l)+l]1+nc：

=〃+q；++C：)=〃2〃，即s=〃2〃T。

推广：由上可以看出我们的猜想是成立的。那么是不是所有的只要系数满足等差数列的上述式子，都可以用倒序相加法呢？答案是肯定的。

S= +…an=。1 -

则s=ancnn++a\c\

=an^n+an-\C\+an-2Cn+ +

?*-2s=a〃c：+(4+an_x)￡；+(%+4—2)■++(%-i+4)。丁+

=(%+4T乂d+q；+，+c：)+2(d-%)

=(q+a〃—d)2〃+2(d_4)

即s=(q+a〃-d)2〃1+(d—4)。

分析3：我们还可以考虑利用组合数的性质，对通项进行变换，寻求解题途径;

证明3：q；+2q；+3c：++

h(h-1)(h-2)I3-2-1(1)+5

h(h-1)(h-2)

I

3-2-1

(1)+5刍

+.??+(〃—1)+1

=n2n

=n2n-[

证明4：

kk_kn\_ (n-1)!

nf1几k!(几一k)!(左_1)!(〃_左)!

c\+2c；+3c：+

c\+2c；+3c：++ncnn

=〃c2[+nc\_x+…+几c：];十几卑:

=〃2〃t

=〃2〃t

+1+

+1+

k-\ k

推广：由kc；=〃q：］：可变形为」进而得到

k n

Cn~X

n

dc2c〃2n-l

=—+—+?-+—=

nn nn

分析4：巧妙构造函数，利用函数的导数进行求解；

证明5：由二项式定理得(1+%)=或+q%+q)2+ +小1+q；%

对上述等式两边求导得+ =q；+2c%++(几—l)c『x〃-2

令x=l,则几2〃t=c；+2c、；+3c：++〃c；得证。

推广：当我们注意到(股：/j=r时，便可求出s=\2cln+22c^+--+n2c：的值。

解：设“同=廿0：+22c)++/c：x〃T

则/(%)=卜;x+2c52++几c：x〃)=k@+2c；x++〃q：x〃T)= + 1

=〃(1+%广|+n(n-l)x(l+x)2

令X=1,得/(1)=〃.2，I+〃1)2A2=〃(〃+1)2〃一2

即s=〃(〃+1)2〃-2。

分析5：%q：还可以变形为c；d，即n个中选出k个，再从k个中选出1个，这样启示

我们还可以通过利用组合数的意义，巧编组合问题来求证。

证明5：某班有n个人，组织一队人做交通安全的宣传，并选出一名同学当队长，请问这样的有队长的宣传队共可组成多少组？

一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选出队长，由加法原理可知应有

Lc、；+2c；+3c：+ +碇；组队方法。

另一种解法是先决定队长，有q；种办法，然后对余下的(〃-1)人分别选派，每个人都

有选上和选不上的两种可能，由乘法原理知共有〃2〃t种组队方法。

由上述两种算法可知：q；+2c；+3q：+?-+几c：=几?2〃一二