高等数学上37平面曲线的曲率省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptxVIP

第七节曲线弯曲程度与切线转角相关与曲线弧长相关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线曲率第三章1/26

一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长2/26

则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:3/26

二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率定义)弧段弯曲程度与相关.转角、弧段长度4/26

)yxo（设曲线C是光滑，（定义曲线C在点M处曲率5/26

2、曲率计算公式注意:(1)直线曲率处处为零;(2)圆上各点处曲率等于半径倒数,且半径越小曲率越大.（书本P170）)yxo6/26

例1(P171-2)解显然,7/26

三、曲率圆与曲率半径定义8/26

1.有共同切线，亦即圆与曲线在点M处相切.曲率圆与曲线在点M处有以下关系：2.有相同曲率.3.所以，圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号.9/26

例2??解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道曲率半径??10/26

得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅压力为641.5千克力.11/26

利用微分学理论,研究曲线和曲面性质数学分支——微分几何学.小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径12/26

思索题椭圆上哪些点处曲率最大？思索题解答要使最大，必有最小，此时最大，13/26

补充:参数方程曲率公式14/26

作业:P177:2,5,815/26

选讲：曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径圆叫做曲线在点M处曲率圆(亲密圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有以下亲密关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线切线和法线,凹向一侧法线上取点D使16/26

设曲线方程为且求曲线上点M处曲率半径及曲率中心设点M处曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组坐标公式.17/26

由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,轨迹G称为曲线C渐屈线,对应曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G渐伸线.屈线参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停18/26

例4.设一工件内表面截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大砂轮比较适当?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超出时,才不会产生过量磨损,或有地方磨不到问题.19/26

(仍为摆线)例5.求摆线渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得20/26

摆线半径为a圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M轨迹即为摆线.参数几何意义摆线渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停21/26

内容小结曲率中心22/26

点击图片任意处播放\暂停例223/26

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证如图（（在缓冲段上,实际要求25/26

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