中考数学几何模型重点突破讲练：专题23 勾股定理中的树折和梯子模型（教师版）.doc

专题23勾股定理中的树折和梯子模型

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【模型1】风吹树折模型

如图，已知树干AB垂直于地面，树干AC被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。

(1)如果已知AB和BC,可通过设AC=x,根据勾股定理可得AB2+BC2=x2,求出x的值，进而可求

出树高。

(2)如果已知树高y和BC,可通过设AB=x,根据勾股定理可得x2+BC2=(y-x2,求出x的值.

【模型2】梯子模型

如图已知梯子AB向下滑动了x米，如图A'B'是滑落后的梯子。

如果已知梯子的长度和AC,可根据勾股定理先求出BC的长度，在Rt△A'CB'中，应用勾股定理：

A'C2+B'C2=AB2→(AC-x)2+(BC+x)2=A'B2可求出滑落的距离x,

【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何?”译文：一根

竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远.问：原

处还有多高的竹子?(1丈=10尺)答：原处的竹子还有多少尺高.则高为()

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺.利用勾股定

理解题即可.

【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得：x2+32=(10-x)2,

解得

故选：B.

【例2】如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，

梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了()米.

A.0.5B.0.4C.0.6D.1

【答案】A

【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE

中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米.

【解析】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC,

∴AC2+BC2=AB2,

∵AB=2.5米，BC=1.5米，

∴AC=√AB2-BC2=√2.52-1.52=2

∵Rt△ECD中，CE⊥CD,

∴CE2+CD2=DE2,

∵AB=DE=2.5米，CD=(1.5+0.5)

∴EC=√DE2-CD2=√2.52-22=1.5

∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5米.

故选：A

米.

米，

米，

【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

(1)这个梯子的顶端距地面有多高?

(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A',那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?

【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米

(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米

【分析】(1)AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得AB的长；

(2)由题意得：BA'=20米，根据勾股定理求得BC',根据BC'-BC即可求解.

【解析】(1)解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°,

AB=√252-72=24(米)

答：这个梯子的顶端距地面有24米；

(2)由题意得：BA'=20米，

BC1=√252-202=15(米)

则：CC'=BC'-BC=15-7=8(米),

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.

【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”其大意是：一根竹子高1丈，折断后

竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?(其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)

【答案】折断处离地面的高度是4.55尺.

【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x尺，则折断的度为(10-x)

尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案.

【解析】解：设折断处离地面x尺，则折断的度为(10-x)尺，

根据