线性代数第二章方阵的行列式b.pptVIP

线性代数第二章方阵的行列式b目录方阵与行列式基本概念方阵行列式计算方法方阵行列式性质与定理方阵可逆条件与逆矩阵求法克拉默法则在解线性方程组中应用总结与拓展01方阵与行列式基本概念方阵定义及性质方阵定义：行数与列数相等的矩阵称为方阵。方阵的转置仍是方阵。方阵与标量相乘，结果仍是方阵。方阵性质010405060302行列式定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，称为该方阵的行列式，记作|A|或det(A)。行列式性质行列式与它的转置行列式相等。互换行列式的两行（列），行列式变号。行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。行列式定义及性质特殊方阵与行列式关系对角矩阵除主对角线外的元素全为零的方阵。其行列式等于主对角线上元素的乘积。正交矩阵满足$AA^T=A^TA=I$的方阵。其行列式的值为±1。上（下）三角矩阵主对角线以下（以上）的元素全为零的方阵。其行列式也等于主对角线上元素的乘积。伴随矩阵由n阶方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的n阶矩阵称为A的伴随矩阵，记作$A^*$。有公式$AA^*=A^*A=|A|I$。02方阵行列式计算方法定义法根据n阶行列式的定义，直接计算元素乘积的代数和。适用于低阶行列式。对角线法则对于2阶和3阶行列式，可以直接使用对角线法则进行计算。展开法利用行列式的性质，将高阶行列式降为低阶行列式进行计算。适用于任意阶数的行列式。直接法求方阵行列式利用性质化简利用行列式的性质，如交换两行（列）、提公因子、拆项等，将原行列式化简为易计算的形式。递推法根据已知低阶行列式的值，通过递推关系式求得高阶行列式的值。数学归纳法对于具有某种规律性的行列式，可以使用数学归纳法进行证明和计算。间接法求方阵行列式030201求解线性方程组01利用克拉默法则，可以求解具有唯一解的n元线性方程组。具体步骤包括构造系数矩阵和增广矩阵、计算各阶主子式和克拉默法则中的分母与分子、求解未知量。判断线性方程组的解的情况02通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩，以及计算克拉默法则中的分母，可以判断线性方程组的解的情况，包括有唯一解、无解或无穷多解。求解矩阵的逆03当矩阵A的行列式|A|≠0时，可以利用克拉默法则求解矩阵A的逆矩阵A^(-1)。具体步骤包括构造增广矩阵、计算各阶主子式和克拉默法则中的分母与分子、求解逆矩阵的元素。克拉默法则应用举例03方阵行列式性质与定理行列式基本性质01行列式与它的转置行列式相等。02互换行列式的两行（列），行列式变号。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。03行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数$k$，等于用数$k$乘此行列式。行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第$i$列的元素都是两数之和：$D=|a{11}+b{11},a{21}+b{21},\ldots,a{n1}+b{n1},a{12},\ldots,a{n2},\ldots,a{1n},\ldots,a{nn}|$则$D$等于下列两个行列式之和：$D=|a{11},a{21},\ldots,a{n1},a{12},\ldots,a{n2},\ldots,a{1n},\ldots,a{nn}|+|b{11},b{21},\ldots,b{n1},a{12},\ldots,a{n2},\ldots,a{1n},\ldots,a{nn}|$行列式基本性质010203余子式在$n$阶行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。代数余子式记作$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是元素$a_{ij}$的余子式。行列式按行（列）展开法则行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ldots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ldots+a_{nj}A_{nj}$。行列式按行（列）展开定理$k$阶子式在$n$阶行列式中，任取$k$行与$k$列（其中$kleqn$），位于这些行列交叉