原创力文档- 1、本文档共9页，可阅读全部内容。
- 2、原创力文档（book118）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务；查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档，您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“版权申诉”（推荐），也可以打举报电话：400-050-0827(电话支持时间：9:00-18:30)。
§5.4 定积分的换元法
一、换元公式
1、函数在上连续；2、函数在区间
1、函数
在
上连续；
2、函数
在区间
上单值且具有连续导数；
3、当在上变化时，的值在
3、当在
上变化时，
的值在
上变化，且
，
(1)
证明：
假设是
假设
是
在
上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式
有
另一方面，函数的导数为这表明：函数是在
另一方面，函数
的导数为
这表明：函数
是
在
上的一个原函数，故有：
3、对
于时，换元公式(1)仍然成立。
从而有对这一定理给出几点注解：
从而有
1、用替换，将原来变量 代换成新变量
1、用替换
，将原来变量 代换成新变量后，原定积分的限应
求出
的原函数
后，不必象不定积分那样，将
变换成原变量 的函数，只需将新变量
变换成原变量 的函数，只需将新变量的上下限代入
中然后相减
(1)、在单值且
(1)、
在
单值且
连续；
(2)、
【例1】求【解法一】令当时，；当时，
【例1】求
【解法一】令
当
时，
；当
时，
。
又当
时，有
【解法二】令
当
时，
；
当
时，
。
又当
时，
，
且变换函数在上单值，
且变换函数
在
上单值，
在
上连续，
且变换函数在
且变换函数
在
上单值，
在
上连续，
解：设，
解：设
，
当
时，
；当
时，
注意：
【例2】求在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。换元公式也可以反过来，即
【例2】求
一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。
对
对
作替换
得
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
1、若在
1、若
在
上连续且为偶函数，则
2、若在上连续且为奇函数，则
2、若
在
上连续且为奇函数，则
故有
若为偶函数，则若为奇函数，则【例4】若在上连续，证明：1、
若
为偶函数，则
若
为奇函数，则
【例4】若
在
上连续，证明：
1、
2、
并由此式计算定积分1、证明：设，2、证明：设，
并由此式计算定积分
1、证明：设
，
2、证明：设
，
【例5】求解：令，
【例5】求
解：令
，
故评注：
故
这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。
文档评论（0）