高维微积分的方法化 第一部分 高维微分学 - 复旦大学精品 ....pdf

高维微积分的方法化

谢锡麟*

第一部分高维微分学

1.向量值映照/多元函数极限的计算方法。（Ⅰ）正向说明说明极限存在：①利用不等

式控制；②利用展开，一元函数复合多元函数（小量），可利用一元函数展开。（Ⅱ）

反向说明极限不存在：①基于路径分析说明极限的路径相关性，以此说明极限不存在；

②设有二个投影极限函数存在，如果二个累次积分至少有一个不存在或者二个累次积

分存在但不相等，则整体极限一定不存在。处理函数极限时，注意主部分离以简化对象。

2.向量值映照/多元函数导数的计算方法。（Ⅰ）充分性方法：①向量值映照的可微性、

Jacobi矩阵每一列的意义；②矩阵形式的链式求导。（Ⅱ）极限分析方法：分片定义

的多元函数在分解点/线上的连续性、可微性、一阶与二阶偏导数的计算，一般需按极

限定义。

3.多元函数的无限小分析方法。指获得多元函数的高阶多项式逼近的系统方法，处理流

程：①将多元函数分解为一元函数与多元函数（小量）的复合，由此利用一元函数的高

阶多项式逼近。②基于Landau的符号进行简并运算，获得各阶的表达式，可反向确定

展开点处各高阶偏导数的值。值得指出，类似于获得一元函数的高阶多项式逼近,获得

多元函数的高阶多项式逼近也不是直接套用无限小增量公式,而是基于间接性方法，一

般只有代数运算。

4.事物因果分解的方法。（Ⅰ）事物的因果分解：①明确事物刻画的二个方面，表征

（由有限个数组成）、关系（由有限个多元函数组成）。②将表征分为二组，一组为因

的候选、一组为果的候选（此组的元素个数与关系的个数相同）；引入隐映照定理的映

照，检查映照相对于果的Jacobi矩阵非奇异，由此局部存在事物的因果分解。（Ⅱ）隐

映照一阶、二阶等导数/Jacobi矩阵的计算，涉及Cramer法则、矩阵形式链式求导。（Ⅲ）

曲线与曲面的隐式形式与其几何量的计算，曲线的切向量与切线表示、曲面的法向量与

切平面表示。

5.多元函数最值问题的处理方法。（Ⅰ）区域内部的最值问题：①基于目标函数的Jacobi

阵求临界点。②基于目标函数的Hesse阵判定极值类别。（Ⅱ）区域边界的最值问题：

基于边界面或线的隐式表示构建Lagrange函数，按其Jacobi阵求临界点，就此往往需

要基于临界点方程组的自身特点。②基于Lagrange函数的Hesse阵（相对于空间变量）

判定极值类别。注：如果已知边界面或线的显示表示，则边界上的目标函数可对应至参

数域的目标函数。（Ⅲ）利用约束上最值问题获得函数型不等式。

6.方程变换的方法。（Ⅰ）仅有自变量变换。（Ⅱ）仅有因变量变换。（Ⅲ）既有自变量

变换又有因变量变换。注：基于因果分解与矩阵形式链式求导，目标为显式获得新因变

量相对于新自变量的Jacobi矩阵；二阶导数基于一阶导数的计算。

*联系方法：Emailxiexilin@;Tel：021第二部分高维积分学

7.曲线、曲面、体积上积分的直接计算方法。（Ⅰ）曲线、曲面、体积上积分的意义：①

计算累积效应的基本流程：整体细分、局部近似、引入极限。②基于局部近似获得各种

累积效应的计算式。（Ⅱ）直接计算的方法：①利用Fubini定理，累次积分与整体积

分之间的转换。②利用体积分换元公式，需综合考虑被积函数与积分区域的简化。具

体变换涉及：广义极坐标与球坐标；将由若干对曲面/曲线族围成的区域变换至方块；

角区变换；旋转变换。（Ⅲ）广义积分的意义与计算。

8.曲线、曲面、体积上积分的间接计算方法。（Ⅰ）曲面与体积上积分之间的关系：①基

于Gauss-Ostrogradskii公式，可建立多连通区域的边界面上的通量与所围区域上散度

的积分之间的关系，条件为积分区域内部与边界上都无奇性。②将指定曲面上的通量

转换为适定曲面上的通量，就此需要散度的体积分易于进行甚至散度为零，注意补面、

奇性去除。③通过通量计算体积。（Ⅱ）曲线与曲面上积分之间的关系：①基于Stokes

公式，可将封闭曲线上的环量/做功转换至对应曲面上