矩阵的初等变换与线性方程组.docx

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

说明与要求:

上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n+1个n阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．

本章讨论一般的n元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为

?a x?a x ???a x ?b

?111 12 2

1n n 1

?a x?a x ???a x ?b

?211 22 2 2n n 2

? ? ? ? ? ?

(I)

??a x

?

m11

a x

m2 2

?a x ?b

?mn n m

?

方程的个数m与未知量的个数n不一定相等，当m=n时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I)，需要研究以下三个问题：

怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？

(3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？目的与要求：

掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。

理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。

了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。掌握用初等变换求解线性方程组。

。本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定.

。本章难点：秩；线性方程组解的判定.

§3.1 矩阵的初等变换

在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．

一.初等变换

定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

互换两行（记 ）；

以数

把某一行的

乘以某一行（记 ）；

倍加到另一行上（记 ）。

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义 若矩阵

经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称

与 行等价，记 ；

若矩阵

经有限次初等列变换变成矩阵

，则称

与 列等价，记 ；

若矩阵

经有限次初等变换变成矩阵

，则称 与

等价，记 。

等价关系满足：

反身性： ；

对称性： ；

传递性： 。

对 矩阵

，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式

， （称之为标准形）。

例1 把下列矩阵化为标准形式：

121301?2 3?

1

2

1

3

0

1

? ? ? ?

(1) A=?4

?2

5?，(2) A=?2 1 0?

2? ??3 2 5?

? ? ? ?

解：(1)

123?

1

2

3??(?2)

?

?(?1)

?2

?

1

2

3

?

?

1

3

5

? 0

?1

?1

?1?

?A??4 ? ?

?

? ? ? ??2 0 1 2? ?0 ?1 ?

? ? ? ?

???1?

? ?

?? 2??

??1

?????3?

?

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?2 0

0 0?

? 2?

?1

?1 0

0 0?

? ? 2 ? ?

??0 ?1 ?1 ?1??(?1)??0 ?1 ?1 ?1?

?0 ?1 ?1 ?1?

?0 0

0 0?

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?

?1 0

?

0

0?

?

?1

?

0

0

0?

?

?0 ?1

?0 0

0

0

0???0

0? ?0

1

0

0

0

0?

0?

?

? ? ?

??101

?

?

1

0

1?

?

?1

?

0

1

?

?

?1

?

0

0

?

?

?

2

1

0???0

1

?2???0

1

?2?

? ? ? ? ? ???3 2 5? ?

? ? ? ? ? ?

?1 0 0? ?1 0 0?

? ? ? ?

??0 1 ?2???0 1 0?

?0 0 12? ?0 0 1?

? ? ? ?

二.利用初等变换求矩阵的逆

作n×2n矩阵(AE)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为E，同时右边子块E

就化成了A–1．简示为：

初等行变换

(AE)──────→(EA–1)

?4 2 3?

? ?

例2 设A=?3 1 2