矩阵n次方的几种求法的归纳.docx

矩阵n次方的几种求法

利用定义法

A??a?

,B??b ?

,则C??c?

,其c ?ab

ab

?...?ab

ijs?n

kjn?m

ijs?m

ij i11j

i22j

innj

??n

k?1

ab

ikkj

称为A与B的乘积，记为C=AB，则由定义可以看出矩阵A与

B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与

第二个矩阵的行数要相同?1?。

?125

?

1

2

5

3?

?

?

?1

0

2

1?

?

? ??0 1 3 4

? ?

?5

?6

，B??

?3

?

3?4 ?0

1 3 0?

2 1 0?

? ，求AB

4 5 1?

?2 0 0?

?

解：设C?AB=?c

ij

?

3?4

，其中i?1,2,3；j?1,2,3,4

4?4

由矩阵乘积的定义知：

c ?1?5?2?6?5?3?3?0?32 c

11 12

c ?1?3?2?1?5?5?3?0?30 c

13 14

?1?1?2?2?5?4?3?2?31

?1?0?2?0?5?1?3?0?5

c ??1?5?0?6?2?3?1?0?1 c ??1?1?0?2?2?4?1?2?9

21 22

c ??1?3?0?1?2?5?1?0?7 c ??1?0?0?0?2?1?1?0?2

23 24

c ?0?5?1?6?3?3?4?0?15 c

31 32

c ?0?3?1?1?3?5?4?0?16 c

33 34

?0?1?1?2?3?4?4?2?22

?0?0?1?0?3?1?4?0?3

将这些值代入矩阵C中得：

?32 31 30 5?

??C?AB=?1 9 7 2?

?

?

? ??15 22 16 3

? ?

3?4

则矩阵A的n次方也可利用定义的方法来求解。

利用矩阵的分块来求解

这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设

A??a

ij

?

s?n

,B??b

kj

?

n?m

,把A，B分解成一些小矩阵：

??A A

?

? ?B B ?

11

?? ?

?

? ?

1l 11

? ???，B?

? ?

?

1r?

??，其中A

?

是s?n

小矩阵且

??A A

?

t1 tl

? ?B B

l1 lr

ij i j

i?1,2...t，j?1,2...l，且s?s

1 2

?...?s

t

?s ，n?n

1 2

?...?n

l

?n；B是

ij

n?m

j k

小矩阵且j?1,2...l，k?1,2...r；且n?n

1 2

?...?n

l

?n，

??C C ?

?

m?m

?...?m

11

??m；令C?AB=

?

1r?

?，其中C

是s?m小矩

1 2 r

?C C ?

??t1 tr

?

?

ij i j

阵且i?1,2...t，j?1,2,...,r，且s?s

1 2

?...?s

t

?s，m?m

1 2

?...?m

r

?m；

其中C

ij

?AB

i1 1j

AB

i2 2j

?...?AB

il lj

。这里我们应注意：矩阵A列的分法

必须与矩阵B行的分法一致?1?。

例2：已知矩阵A??0

?

?0

0

?1

0

0

2

?0

?

1

0

1

?0

0

1

2

0 1 2 8?

?0 0 6?

?

?1

?10

?1

0

0

2

5?

?0

?

1

0

1

3?

?

?

，B??1

4?

4

?

?4?5 ?0

?

2?

5?

?

0? ，求AB

2?

2

?

6?

6

?

?1?

?1

?0

?

?0