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函数的极值与导数学案

【学习目标】

1、了解函数极值的概念。

2、掌握求函数极值的方法和步骤。

3、理解函数极值点与导函数的零点之间的关系

【先学自研】

1、探究一

y

y

x

O

b

a

用高台跳水的例子研究：

(1)当t<a时h(t)的单调性是

___________

(2)当t>a时h(t)的单调性是

___________

(3)当t=_______时运发动距

水面高度最大，h(t)在此点的

导数是_______

(4)导数的符号有什么变化规律？

yxOba探究二:如图，函数y=在a,b,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=在这些点的导数值是________,在这些点附近，y=

y

x

O

b

a

讨论完成：在x=a附近，先减后增，先___后___，连续变化，于是有=0．比在点x=a附近其它点的函数值都小。我们把点a叫做函数y=的__________,叫做函数的___________.

在x=b附近，先增后减，先___后___，连续变化，于是有=0．比在点x=b附近其它点的函数值都大。我们把点b叫做函数y=的__________,叫做函数的___________.

极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________。

完善极值定义:1、函数极值的定义

一般地，设函数f(x)在点及附近有定义，如果对附近的所有的点，都有f(x)＜f()，就说f()是 ，叫做 ．如果对附近的所有的点，都有f(x)＞f()，就说 ，叫做 ．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为.

2、判别f()是极大、极小值的方法：

假设满足f′()＝0，且在的两侧f(x)的导数异号，那么是f(x)的极值点，f()是极值，并且如果f′(x)的符号在两侧满足“ ”，那么是 ，f()是 ；如果f′(x)在两侧满足“ ”，那么是 ，f()是

3、求可导函数的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域，求导数；(2)求方程的根；

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格．

检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么在这个根处无极值

二、根底训练

1、以下图是函数的图象，那么极大值点是，极小值点是.

〔第1题〕〔第2题〕

2、上图是导函数的图象，函数y=f(x)的极大值点是__,极小值点是.

3、下面4个命题其中是假命题序号为

①,那么必为极值；②在x=0处取极大值0；

③函数的极小值一定小于极大值；④函数的极小值〔或极大值〕不会多于一个；

⑤函数的极值即为最值.

4、的极值情况是〔〕

A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也极小值

5、函数f(x)=的极值情况是()

(A)当x=1时取极小值2，但无极大值(B)当x=－1时取极大值－2，但无极小值

(C)当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2

(D)当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2

6、函数的极大值和极小值，并画出函数的大致图象。

【点拨讲解】

例1、求以下函数的极值：

〔1〕；〔2〕y=ln2x+2lnx+2

变式练习：

函数y＝x－ln(1＋x2)，那么函数y的极值情况是()

A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值

例2、〔1〕函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，那么()

A．a＝－3，b＝3B．a＝4，b＝－11

C．a＝－4，b＝11D．a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3

〔2〕、设函数，a∈R，假设x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.

变式练习：

1、函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，那么a＝______，b＝________.

2、f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，那么常数c的值为________．

例3、〔1〕、函数有极值的充要条件是．

〔2〕、设函数有两个极值点，且那么求实数a的取值范围？

〔3〕、设a