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§31扭转的概念和实例§32外力偶矩的计算,扭矩和扭矩图
1
第三章扭转
?3.1扭转的概念和实例
?3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图
?3.3纯剪切
?3.4圆轴扭转时的应力
?3.5圆轴扭转时的变形
?3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
?3.7非圆截面杆扭转的概念
?3.1扭转的概念和实例
1(实例如:
车床的光杆
反映釜的搅拌轴汽车转向轴
2(扭转:在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时
，杆的任意两
个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。
?3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图
1(Me、m、P之间的关系Me--外力偶矩(N?m)
n--转速(r/min)
P--功率(kW)(1kW=1000N?m/s)(马力)(1马力=735.5W)
每秒钟内完毕的功力或
2(扭矩和扭矩图
截面法、平衡方程ΣMx=0T-Me=0T=Me
扭矩符号规定:为无论用部分I或部分II求出的同一截面上的扭矩不仅数值相似
且符号相似、扭矩用右手螺旋定则拟定正负号。
扭矩图例1
主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮输出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图.
解:(1)(2)求T
ΣMx=0T1+MeB=0T1=-MeB=-477T2-MeA+MeB=0T2=1115N
T3-MeD=0T3=Med=63T
例2
主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮普通应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从动轮的一边相比，整个轴的
最大扭矩值会减少。
如左图a:Tmax=50N?m右图b:Tmax=25N?m
两者比较图b安置合理。
?3.3纯剪切
在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及两者关系的研究非常重要。
1(薄壁圆筒扭转时的切应力
连接件的剪切面上非但有切应力，并且有正应力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆筒的扭转。
观察变形及分析
变形前纵线与圆周线形成方格。
变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持不变，这表达横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截面，故横截面上的切应力与半径正交。
对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。
力矩平衡ΣMx=02(切应力互等定理取出单元体如左图ΣFx=0τ′=τ′ΣMz=0
τ′=τ
在互相垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。
3(切应变剪切胡克定律
上述单元体，属于纯剪切状态
胡克定律:实验表明，当切应力不超出比例极限时，切应力与切应变成正比。
τ=Gγ
G--比例常数，材料的切变模量。单位GPa4(三个弹性常数之间的关系
对各向同性材料
5(剪切应变能
对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为τdydz。由于剪切变形，右侧面对下错动位移为rdx。若切应力有一种增量dτ，切应变的对应增量为dγ，右侧面对下位移增量为dγdx。
剪力τdydz在位移dγdx上完毕的功力τdydz?dγdx。在切应力从零开始逐步增加的过程中(如达成可，则对应的切应变达成r1)右侧面上的剪力τdydz总共完毕的功力。
单元体内储存的剪切应变能力
式中:dv=dxdydz，则剪切应变能密度为vε=τ,r曲线下的面积。(τdγ为阴影条面积)当切应力不超出剪切比例极限
的状况下。τ与γ的关系为斜直线(为线弹性状况)剪切胡克定律:τ=Gγ，则
?3.4圆轴扭转时的应力
1(应力分布规律:几何学方面物理学方面
静力学方面
变形几何关系
?观察实验(在小变形前提下)
圆周线大小、形状及相邻二圆周线之间的距离保持不变，仅绕轴线相对转过一种角度。
在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度，变形前表面的矩形方格，变形后错动成菱形。
?平面假设:圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形状和大小不变
，半径仍保持为直线;且相邻二截面间的距离保持不变。
?结论:横截面上只有切应力而无正应力。
?取dx一段轴讨论:
(a)
讨论:
a.
为扭转角φ沿轴线x的变化率对给定截面上的各点而言，(即x相似)它是常量。
b.
横截面上任意点的切应变γP与该点到圆心的距离P成正比。(任意半径圆周处的切应变均相等)。
物理关系
?剪切胡克定律(b)
?结论
距圆心等距的圆周上各点处的切应力均相等。τP与半径垂直(即各点处的圆周切线方向)。
切应力沿半径直线分布。
静力关系
?内力为分布力系的合力
令(截面对圆心O的板惯性矩)
于是:(c)
式(c)代入式(b)
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