数列知识点归纳.docx

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数列

一、等差数列性质总结

等差数列的定义式：a

n

等差数列通项公式：

a

n?1

?d（d为常数）（n?2）；

a ?a

n 1

?(n?1)d(n?N*) ， 首项:a

1

，公差:d

推广：a ?a

(n?m)d． 从而d?

a ?a

n m；

n m

等差中项

n?m

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?

a?b或2A?a?b

等差中项：数列

?a?是等差数列?2a

n n

?a

n-1

a

n?1

(n?2,n?N*)?2a

2

?a

n?1 n

a

n?2

等差数列的前n项和公式：

n(a

?a) n(n?1) d 1

S ? 1 n ?na? d? n2?(a? d)n?An2?Bn

n 2 1 2 2 1 2

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S是关于n的二次式且常数项为0）

n

特别地，当项数为奇数2n?1时，a是项数为2n-1的等差数列的中间项

?2 ?? ? n

n?1 a?a ? ?

S ?

2n?1

1 2n?1

2

? 2n?1

a（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

n

等差数列的判定方法

定义法：若a ?a ?d或a

a ?d(常数n?N?)? ?a

?是等差数列．

n ?n?1?

n?1 n n

等差中项：数列a 是等差数列?2a ?a

?a (n?2)?2a

?a ?a ．

? ? n ?

n n-1

n?1

n?1

n n?2

数列a

? ?n

是等差数列

a ?kn?b（其中k,b是常数）。

n

数列a

n

是等差数列?S

n

?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

等差数列的证明方法

定义法：若a

n

a

n?1

?d或a

a

n?1 n

?d(常数n?N?)? ?a

n

?是等差数列

等差中项性质法：2a

n

提醒：

?a

n-1

a

n?1

(n?2，n?N?)．

等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a

1

、d、n、a

n

及S，其中a、

n 1

d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

设项技巧：

①一般可设通项a

n

?a?(n?1)d

1

②奇数个数成等差，可设为…，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，a?3m,a?m,a?m,a?3m,…（注意；公差为2m）8.等差数列的性质：

当公差d?0时，

等差数列的通项公式a

n

?a?(n?1)d?dn?a

1 1

d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n?1) d d

前n和S

?na? d? n2?(a? )n是关于n的二次函数且常数项为0.

n 1 2 2 1 2

若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

当m?n?p?q时,则有a ?a

m n

?a ?a

p q

，特别地，当m?n?2p时，则有a ?a

m n

?2a .

p

若?a

?、?b

?为等差数列，则??a

?b

?都为等差数列，其中?,??R

n n 1n 2n 1 2

(5)若{a

n

}是等差数列，则S,S

n 2n

S,S ?S

n 3n 2n

，…也成等差数列

数列{a}为等差数列,每隔k(k?N*)项取出一项(a,a ,a ,a ,???)仍为等差数列

n m m?k m?2k m?3k

设数列?a

n

的和

?是等差数列，d为公差，S

奇

是奇数项的和，S

是偶数项项的和，S

偶 n

是前n项

当项数为偶数2n时，则 S

2n

当项数为奇数2n?1时，则

?n(a

n

a ) S ?S

n?1 偶 奇

?nd

奇? n

aSS a

a

S

偶 n?1

??S

?

2n?1

?S ?S

奇 偶

?(2n?1)a

n

?? S

?? 奇

?

?na

n

?S奇?