解三角形解答题专练（解析版）-2024届高三数学二轮复习.docx

解三角形解答题专练（解析版）

（新高考地区适用）

真题呈现（2019年---2023年）

各地模拟题汇编

一、真题呈现

1．（2023·全国乙卷（理）·18）在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）由余弦定理可得：

，

则，，

.

（2）由三角形面积公式可得，

则.

2．（2023·新课标全国Ⅰ·17）已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

【答案】(1)；(2)6

【详解】（1），，即，

又，

，

，，

即，所以，.

（2）由（1）知，，

由，

由正弦定理，，可得，

，.

3．（2023·新课标全国Ⅱ·17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．

(1)若，求；

(2)若，求．

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

??

则，解得，

在中，，由余弦定理得，

即，解得，则，

，

所以.

方法2：在中，因为为中点，，，

则，解得，

在中，由余弦定理得，

即，解得，有，则，

，过作于，于是，，

所以.

（2）方法1：在与中，由余弦定理得，

整理得，而，则，

又，解得，而，于是，

所以.

方法2：在中，因为为中点，则，又，

于是，即，解得，

又，解得，而，于是，

所以.

4．（2023·全国甲卷（文）·17）记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若，求面积．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）因为，所以，解得：．

（2）由正弦定理可得

，

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为．

5．（2022·新高考全国Ⅱ·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）由题意得，则，

即，由余弦定理得，整理得，则，又，

则，，则；

（2）由正弦定理得：，则，则，.

6．（2022·全国乙卷（文）·17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

【答案】(1)；(2)证明见解析．

【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．

（2）由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

7．（2022·全国乙卷（理）·17）记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)见解析；(2)14

【详解】（1）证明：因为，

所以，

所以，

即，

所以；

（2）解：因为，由（1）得，

由余弦定理可得，则，所以，

故，所以，

所以的周长为.

8．（2022·新高考全国Ⅰ·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

【答案】(1)；(2)．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

9．（2022·新高考北京·16）在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，

可得，因此，.

（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.

由余弦定理可得，，

所以，的周长为.

10．（2021·全国新高考Ⅱ·18）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，且.

【详解】（1）因为，则，则，故，，

，所以，为锐角，则，

因此，；

（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，

由余弦定理可得，

解得，则，

由三角形三边关系可得，可得，，故.

11．（2021·全国新高考Ⅰ·19）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）（方法一）

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

（方法二）如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

12．（2020·新高考全国卷Ⅱ（海南卷）·17）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【详解】（方法一）

由可得