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九省联考适应性练习04
数学试题卷
注意事项：
1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．在中，，则（????）
A． B． C． D．
3．过点作圆的两条切线与圆C分别切于A，B两点，则直线的方程为（????）
A． B． C． D．
4．某公司安排位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排人，每人值班天，则位员工中甲不在日值班的概率为（????）
A． B． C． D．
5．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为（????）
A． B．
C． D．
6．已知在数列中，，且.设，且为的前项和，则的整数部分为（????）
A． B． C． D．
7．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，，，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9．已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（????）
A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同
10．函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（???）
A．图像的一条对称轴可能为直线
B．函数的解折式可以为
C．的图像关于点对称
D．在区间上单调递增
11．已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（????）
A．
B．过点的切线方程
C．对，不等式恒成立
D．若为函数的极值点，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形，及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，若，外接圆半径为1，则该图形的面积为．
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
14．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的最大值．
16．（15分）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.
17．（15分）在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，M为棱上一点，满足，求点到平面的距离.
18．（17分）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．
19．（17分）对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
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