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2024届高三名校期末测试
数学
考生注意：
1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上作答无效.
3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】，
，
又
故选：A．
2.复数的虚部是（）.
A. B. C.8 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项.
【详解】因为，所以复数的虚部是，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题.
3.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量投影的概念运算求出，再利用向量数量积运算求得结果.
【详解】由题在上的投影向量为，
又，，即，
.
故选：A.
4.在中，“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】在中，，则，
充分性：当时，，，
，所以“”是“”的充分条件;
必要性：当时，取，，
此时满足，但，
所以“”是“”的不必要条件.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【详解】圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以．
故选：A．
6.，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（）
A.24 B.120 C.48 D.60
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆绑法以及分步计数原理求解.
【详解】将，看成一体，，的排列方法有种方法，然后将和当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列，即不同的排列方式有，根据分步计数原理可知排法种数为，
故选：.
7.若系列椭圆（，）的离心率，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.
【详解】椭圆可化为：.
因为，所以离心率，解得：.
故选：A
8.已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（）个.
A.499 B.500 C.501 D.502
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论.
【详解】由题意得：，其中，
，代入上式得：，
要方程无实数解，则，
显然第502个方程有解.
设方程与方程的判别式分别为，
则
，
等号成立的条件是，所以至多一个成立，
同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，
故选：D.
【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9.已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）
A.中位数不变 B.平均数不变
C.方差不变 D.第40百分位数不变
【答案】AD
【解析】
【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.
【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得原数据的第40百分位数是第4个数24.
将原数据去掉12和45，得，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得新数据第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.
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